關係 (數學)

在數學上，關係是對如等於 $=$ 或序 $<$ 等二元關係的廣義化。

簡介

參考一個如「X認為Y喜歡Z」之類的關係，其實際情形如下：

上表的每一行都代表著一個事實，並給出「X認為Y喜歡Z」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如認為凱文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合P上的關係S，其中：

P = {韻如，凱文，佳馨}

包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對：

S = {(韻如，凱文，佳馨), (正乾，韻如，凱文), (正乾，正乾，韻如), (佳馨，佳馨，佳馨)}

若較不嚴謹些，通常會將S(韻如，凱文，佳馨)用來指上表中第一行的同一種關係。關係S為「三元」關係，因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以集合論中的概念定義出的數學物件（即關係為{X,Y,Z}的笛卡兒積的子集），包含了表中所有的訊息。因此，數學上來說，關係純粹是個集合。

k元關係在數學上有兩種常見的定義。

定義1在集合X₁,…,X_k上的關係L是指集合的笛卡兒積的子集，寫成L ⊆ X₁ ×…× X_k。因此，在此定義下，k元關係就是個k元組的集合。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣－說「某某為一n元組」即表示此一某某數學物件是由n組數學物件的描述來判定的。在集合X₁,…,X_k上的關係L中，會有k+1件事要描述，即k個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下，L可以說是一個k+1元組。

定義2在集合X₁,…,X_k上的關係L是一個k+1元組L = (X₁,…, X_k, G(L))，其中G(L)是笛卡兒積X₁ ×…× X_k的子集，稱之為L的「關係圖」。

兩個正整數n和m之間「可除性」的關係是指「n 整除m」。此一關係通常用一特殊的符號「 | 」來表示它，寫成「n|m」來表示「n整除m」。

若要以集合來代表這二元關係，即是設正整數的集合P = {1,2,3,…}，然後可除性就是一個在P上的二元關係D，其中D為一包含了所有n|m的有序對 (n,m)。

例如，2為4的因數及6為72的因數，則可寫成2|4和6|72，或D(2,4)和D(6,72)。

對三維空間內的線L，存在一個三條線為共面的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元對稱關係。

換句話說，若 P(L,M,N)表示線 L,M,N共面，且Q(L,M)表示線 L,M共面，則Q(L,M),Q(M,N)和Q(N,L)不能合起來代表P(L,M,N)也是對的；但相反則是正確的（三條共面的線之中的一對必然也會是共面的）。其中有兩個幾何上的反例。

第一個是，如x軸、y軸和z軸之類共點（即交於同一點）的三條線。另一個則是在任一三角柱上平行的三邊。

若要正確，則必須加上每對線都會相交且相交的點都不同。如此一來，每對線的共面才會意指三條線的共面。

數學上更有研究意義的是具有某種性質的關係。一些常見的性質包括：自反性、反自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性。確定一個關係是否具有這些性質，可以通過考察它的關係圖或者是關係矩陣來做到。

具有自反性、對稱性、傳遞性的關係稱作等價關係。一個常見的例子就是整數的模同餘。

具有自反性、反對稱性、傳遞性的關係稱作偏序關係。例如自然數集上的大於等於就是偏序關係。

n元謂詞就是含有n個變量的布爾值函數。

由於上述的n元關係定義了 (x₁, ..., x_n)屬於R時唯一的n元謂詞（反之亦然），關係和謂詞通常使用相同的符號。所以下列兩種寫法一般認為是等價的：

(x_{1},x_{2},\dotsb )\in R

R(x_{1},x_{2},\dotsb )

許多事物有多個元素兩兩關係。例如：

1，無窮個質數都是兩兩互質。例如質數2,3,5,7,11，就是所有質數之間沒有公因數，我們知道有無窮的質數兩兩互質；

2，無窮個區域兩兩相連。例如，一個汽車輪胎形狀的環面可以有7個區域兩兩相連，有兩個洞的曲面可以有8個區域兩兩相連，有三個洞的曲面可以有9個區域兩兩相連，...。我們知道可以構造無窮的區域兩兩相連。