除法

算术运算 查 论 编

加法 (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{项 }}\,+\,{\text{项}}\\\scriptstyle {\text{加 数 }}\,+\,{\text{加 数}}\\\scriptstyle {\text{被 加 数 }}\,+\,{\text{加 数}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{和 }}}$ 减法 (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{项 }}\,-\,{\text{项}}\\\scriptstyle {\text{被 减 数 }}\,-\,{\text{减 数 }}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{差 }}}$ 乘法 (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{因 数 }}\,\times \,{\text{因 数 }}\\\scriptstyle {\text{被 乘 数 }}\,\times \,{\text{乘 数 }}\\\scriptstyle {\text{（ 英 文 中 ） }}{\text{乘 数 }}\,\times \,{\text{被 乘 数 }}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{积 }}}$ 除法 (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{被 除 数 }}}{\scriptstyle {\text{除 数 }}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{分 子 }}}{\scriptstyle {\text{分 母 }}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{商 }}\\\scriptstyle {\text{比 值 }}\end{matrix}}}$ 模除 (mod) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{被 除 数 }}\,mod\,{\text{除 数}}\,\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{余 数 }}}$ 乘方 (^) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{底 数 }}^{\text{指 数 }}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{幂 }}}$ n 次方根 (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{根 指 数 }}]{\scriptstyle {\text{被 开 方 数 }}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{根 }}}$ 对数 (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{底 }}({\text{真 数 }})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{对 数 }}}$

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数学中，尤其是在基本计算里，除法（英语：division）可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为${\displaystyle 1}$，得出同比的被除数的值”。

例如：${\displaystyle {{6}\div {3}}=2}$，就好像${\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}$， ${\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}$，${\displaystyle 6}$被${\displaystyle 3}$减了两次后，就变成了${\displaystyle 0}$。

如果

${\displaystyle a\times b=c}$

而且${\displaystyle b}$不等于零，那么

${\displaystyle a=c\div b}$

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商数（${\displaystyle a}$）必须是整数，则称为带余除法，${\displaystyle a\times b}$与${\displaystyle c}$相差的数值，称为余数（${\displaystyle d}$）。

${\displaystyle c\div b=a\dots d}$

这也意味着

${\displaystyle c=a\times b+d}$

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，${\displaystyle c\div b}$写成${\displaystyle c/b}$。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为${\displaystyle \operatorname {div} }$，寻找余数的函数则为${\displaystyle \operatorname {mod} }$。

在大部分的非英语语言中，${\displaystyle c:b}$代表${\displaystyle c\div b}$的比，读做c比b；${\displaystyle c/b}$则代表${\displaystyle c\div b}$的比值。用法请参照比例。

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数${\displaystyle a}$可以被自然数${\displaystyle b}$整除，是指${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的约数，且a是b的整数倍数，也就是${\displaystyle a}$除以${\displaystyle b}$没有余数。

${\displaystyle a\div b=q\dots 0}$

约数判别法可参照整除规则。

${\displaystyle b\mid a}$表示${\displaystyle b}$整除${\displaystyle a}$，即${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$的倍数，${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因数。

${\displaystyle 15}$可以被${\displaystyle 5}$整除，记作${\displaystyle 5\mid 15}$。

${\displaystyle 20}$不能被${\displaystyle 6}$整除（因为余数为${\displaystyle 2}$），记作${\displaystyle 6\nmid 20}$。在${\displaystyle \mid }$上加一条斜线即表示不整除。

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$的过程可以表示为：

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

• 使用短除法计算${\displaystyle 3\div 7}$的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$

• 使用短除法计算${\displaystyle 420}$的素因数分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$

• 使用短除法计算${\displaystyle 420,270}$的最大公约数及最小公倍数：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式${\displaystyle A}$和非零多项式${\displaystyle B}$，则存在唯一的多项式${\displaystyle Q}$和${\displaystyle R}$，满足：

${\displaystyle A=BQ+R}$

而多项式${\displaystyle R}$若非零多项式，则其幂次严格小于${\displaystyle B}$的幂次。

作为特例，如果要计算某个多项式${\displaystyle P}$除以一次多项式${\displaystyle X-a}$得到的余多项式，可以直接将${\displaystyle a}$代入到多项式${\displaystyle P}$中。${\displaystyle P}$除以${\displaystyle X-a}$的余多项式是${\displaystyle P(a)}$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$除以${\displaystyle X-3}$，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$，余式是${\displaystyle \ -123}$。

通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。

• 筹算除法
• 同余
• 余数
• 带余除法