海森伯群

在數學裏，海森堡群是以維爾納·海森堡來命名的，為如下之三階上三角矩陣所組成的群：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

元素a、b、c可以取成某種交換環，一般會取成實數環或整數環。

若a、b、c為實數，則可得到一個連續海森堡群 H₃(R)。其為一個冪零李群。

若a、b、c為整數，則可得到一個離散海森堡群 H₃(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群，有兩個生成元

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

並滿足關係

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$。

其中，

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

為 H₃ 中心之生成元。（x^-1，y^-1和z^-1即分別將x，y和z主對角線上的1改為-1）

依貝斯定理所述，其有一個4目的多項式增長率。

若取a、b、c在Z/pZ內，則可得到一個模 p 海森堡群。其為p³目的群，其中有兩個生成元x和y，滿足關係

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy}$。

更一般性地，海森堡群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如，令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森堡群H(V)是一個附有群定律

${\displaystyle (v_{1},t_{1})\cdot (v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\frac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}$

的集合。

海森堡群是加法群V的中心擴張。因此，會有一個正合序列

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(e_j,f^k) = δ_j^k的達布基{e_j,f^k}_{1 ≤ j,k ≤ n}。以此一基來敘述，每個向量都可以分解成

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

其中的q^a和p_a為正則坐標。

若{e_j,f^k}_{1 ≤ j,k ≤ n}是V的一個達布基，然後令{E為R的一個基，則{e_j,f^k, E}_{1 ≤ j,k ≤ n}會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

可以等同於下列矩陣

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&t+{\frac {1}{2}}pq\\0&1&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示。

• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.