祖暅原理

祖暅（gèng）原理，又名等幂等积定理^[1]，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异^[2]。”

该原理最早由中国古代数学家刘徽提出^[1]。南北朝时祖冲之儿子祖暅再次提出^[3]，两父子用这原理求出牟合方盖体积，进而算出球体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理^[3][4]。

在现代的解析几何和测度应用中，祖暅原理是富比尼定理的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明，只发表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae，用以证明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以计算某些立体的体积，甚至超越了阿基米德和开普勒的成绩。这定理引发了以面积计算体积的方法并成了积分发展的重要一步。

如果垂直转轴切开圆柱体，设r为半径，可得到横切面积为${\textstyle \pi r^{2}}$的圆。根据祖暅原理，圆柱体积相等于底面积相等于圆面积${\textstyle \pi r^{2}}$、高h的长方体，所以半径r和高h的圆柱体积是${\displaystyle \pi r^{2}h}$。

从其中一层以垂直表面的高h横切半径为r的半球体，根据勾股定理，半径为

${\displaystyle r'={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}}$

所以横切面积是

${\displaystyle \pi \cdot (r')^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2})}$

对照立体是个有与半球体相同横切面积和高的立体，中间有一圆锥体。高h的对照立体环形切面有内圆周h及外圆周r，其面积为

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}-\pi \cdot h^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2})}$

因此两个立体都满足祖暅原理并有相同体积。对照立体的体积就是圆柱体和圆锥体体积之差，所以

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3}}\pi \cdot r^{3}}$

成功利用这条有名的方程计出半球体积，从而导出球体积公式。

祖暅原理背后概念常在微积分出现。作为维度的一个例子，因此两条方程在两交点间的面积可用以下方程获得：

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}$

实质上表示了函数f和g间的${\displaystyle A_{1}}$面积与函数图形${\displaystyle x\mapsto f(x)-g(x)}$下的${\displaystyle A_{2}}$相同，而后者的交点距离与前者相等。由于现代数学的积分和面积的互相关系，而体积可以微分计算，使祖暅原理变得更少用。

• （英文） 伽利略计划：卡瓦列里 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文） http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）