函数极限

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${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

尽管函数${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$的定义域中不包括“0”，但当${\displaystyle x}$无限接近于零时，${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$就无限接近于 1，换句话说，${\displaystyle x}$接近于零时，${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$的极限是 1。

在数学中，函数极限（英语：Limit of a function）是微积分的一个基本概念。它描述函数在接近某一给定自变量时的特征。函数 ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle a}$ 的极限为 ${\displaystyle L}$ ，直观上意为当 ${\displaystyle x}$ 无限接近 ${\displaystyle a}$ 时，${\displaystyle f(x)}$ 便无限接近 ${\displaystyle L}$ 。

如果取 ${\displaystyle \delta }$ 为＂ ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle a}$ 差距的上限＂；类似地，取 ${\displaystyle \epsilon }$ 为＂ ${\displaystyle f(x)}$ 与 ${\displaystyle L}$ 差距的上限＂，那根据直观，可以将函数极限定义为：

若对所有的 ${\displaystyle \delta >0}$ ，存在 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ ，只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ 就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$

其中 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$ 是要确保 ${\displaystyle \delta }$ 越来越小时， ${\displaystyle \epsilon }$ 也会越来越小； ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ 是为了凸显 ${\displaystyle x}$ 是逼近而非等于 ${\displaystyle a}$ ，但对应的 ${\displaystyle f(x)}$ 是可以等于 ${\displaystyle L}$ 的。

但对于实函数 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 逼近 ${\displaystyle a=0}$ 时，考虑到 ${\displaystyle \delta \geq 1}$ 的部分；在 ${\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}}$ 下是没有这样的 ${\displaystyle \epsilon }$ 使得 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$ 且 ${\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon }$ 的，但数值上 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 的确在 ${\displaystyle a=0}$ 时很靠近 ${\displaystyle 0}$ ，也就是 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$ 的部分局限了定义能覆盖的范围。

上面的例子表明以 ${\displaystyle x}$ 的变化去限制 ${\displaystyle f(x)}$ 的变化通常是很困难的，但如果反过来从 ${\displaystyle \epsilon }$ 出发，去找怎样的 ${\displaystyle x}$ 会让 ${\displaystyle f(x)}$ 与 ${\displaystyle L}$ 的差距小于 ${\displaystyle \epsilon }$ ，也就是从＂若对所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ＂出发的话，显然上面 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$的例子只要取 ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}}$ 即可；而且在这个定义被满足的情况下，若进一步取 ${\displaystyle \epsilon }$ 和 ${\displaystyle \delta }$ 的最小值为 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle a}$ 差距的上限，还是会有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ，这样就可以用 ${\displaystyle \epsilon }$ 控制 ${\displaystyle x}$ 的变化，而满足＂ ${\displaystyle x}$ 趋近于 ${\displaystyle a}$ 时 ${\displaystyle f(x)}$ 趋近于 ${\displaystyle L}$ ＂的直观想法。

但实际上无法确保对所有 ${\displaystyle \delta >0}$，都有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 使得 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ，所以定义函数极限之前必须要求 ${\displaystyle a}$ 为 ${\displaystyle D_{f}}$ 的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在 ${\displaystyle r>0}$ 使得 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r}$ 都有定义，也就是存在 ${\displaystyle a}$ 的去心邻域使 ${\displaystyle f(x)}$ 都有定义，这样的话 ${\displaystyle a}$ 会自动成为 ${\displaystyle D_{f}}$ 的极限点。

${\displaystyle f}$ 为实函数， ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ 为 ${\displaystyle D_{f}}$ 的极限点且 ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ ，若＂对所有的${\displaystyle \epsilon >0}$，存在${\displaystyle \delta >0}$，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ 就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为

则以 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ 表示，称 ${\displaystyle L}$ 为实函数 ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle a}$ 的极限。

由于＂无穷大＂不能直接定义成定义域 ${\displaystyle D_{f}}$ 的极限点，可以退而求其次假设＂对所有的 ${\displaystyle \delta >0}$ 存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 使得 ${\displaystyle x>\delta }$ ＂。也就是直观上可以用定义域 ${\displaystyle D_{f}}$ 里的点去逼近＂无穷大＂。那在这种条件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$，且若＂对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 只要 ${\displaystyle x>\delta }$ 时，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为

则称 ${\displaystyle L}$ 为实函数 ${\displaystyle f}$ 于正无穷大（ ${\displaystyle \infty }$ ）的极限，记作 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$ 类似的，若假设＂对所有的 ${\displaystyle \delta <0}$ 存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 使得 ${\displaystyle x<\delta }$ ＂，那在这种条件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$，且若＂对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta <0}$，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 只要 ${\displaystyle x<\delta }$ 时，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为

则称 ${\displaystyle L}$ 为实函数 ${\displaystyle f}$ 于负无穷大（ ${\displaystyle -\infty }$ ）的极限，记作${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}$

直观上来讲，从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限，为了把这个概念推广，需要函数限制的极限（也就是缩小定义域后的极限）：

上述定理的证明只须注意到 ${\displaystyle a}$ 也必为 ${\displaystyle D_{f}}$ 的极限点，然后把函数极限的定义展开，考虑到 ${\displaystyle A\cup B=D_{f}}$ ，还有对 ${\displaystyle x\in A}$ 取 ${\displaystyle \delta _{A}}$ 的和 ${\displaystyle x\in B}$ 取的 ${\displaystyle \delta _{B}}$ ，那只要取 ${\displaystyle \delta }$ 为 ${\displaystyle \delta _{A}}$ 和 ${\displaystyle \delta _{B}}$ 的最小值，对所有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 就有 ${\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)}$ ；反过来由原函数 ${\displaystyle f}$ 推出 ${\displaystyle f|_{A}}$ 和 ${\displaystyle f|_{B}}$ 的状况是非常显然的。

若取

${\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}$

${\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}$

如果假设 ${\displaystyle a}$ 同时为 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 的极限点，那 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 显然符合上面定理的要求的，而这时

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}$

这个表达式会被别称为＂ ${\displaystyle L}$ 是实函数 ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle a}$ 的右极限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$ 表示。

类似的

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}$

这个表达式会被别称为＂ ${\displaystyle L}$ 是实函数 ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle a}$ 的左极限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$ 表示。

以下公式中，${\displaystyle n>0,a>1}$。

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }$