空集公理

${\displaystyle (\forall y)(y\not \in x)}$

${\displaystyle (\forall y)(y\not \in t)}$

那根據量詞公理(A4)有

${\displaystyle \neg (y\in x)}$

${\displaystyle \neg (y\in t)}$

另一方面根據常用的推理性質的(M0)有

${\displaystyle \vdash (y\not \in x)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]}$

${\displaystyle \vdash (y\not \in t)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]}$

這樣就會有

${\displaystyle (y\in x)\Rightarrow (y\in t)}$

${\displaystyle (y\in t)\Rightarrow (y\in x)}$

這樣根據(AND)有

${\displaystyle (y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)}$

因為前面的 ${\displaystyle y}$ 在一開始假設裡完全被約束，所以對上式以 ${\displaystyle y}$ 使用(GEN)有

${\displaystyle (\forall y)(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)}$

綜上所述

${\displaystyle (\forall y)(y\not \in x),\,(\forall y)(y\not \in t)\vdash x=t}$

這樣根據普遍化就有

${\displaystyle \vdash (\forall x)(\forall t){\big \{}[(\forall y)(y\not \in x)\wedge (\forall y)(y\not \in t)]\Rightarrow (x=t)\}}$

再以(AND)綜合空集公理，本定理就得証了。${\displaystyle \Box }$