二次函数

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在数学中，二次函数（英語：quadratic function）表示形为 ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$（${\displaystyle a\neq 0\,\!}$，且${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$是常数）的多项式函数，其中，${\displaystyle x}$为自变量^[a]，${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于${\displaystyle y}$轴的抛物线。^[1]

二次函数表达式${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$的定义是一个二次多项式，因为${\displaystyle x}$的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。^[b]

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。^[c]

二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$ 的两个根为：$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$解方程后，我们会得到两个根：${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$。则点${\displaystyle (x_{1},0)}$和${\displaystyle (x_{2},0)}$就是二次函数与${\displaystyle x}$轴的交点。根的类型如下：

• 设${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$為一元二次方程式的判別式，又記作D。
• 當${\displaystyle \Delta >0\,\!}$，则方程有两个不相等的根，也即与${\displaystyle x}$轴有两个不重疊的交点，因为${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$是正数。
• 當${\displaystyle \Delta =0\,\!}$，则方程有两个相等的根，也即与${\displaystyle x}$轴有一个切点，因为${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$是零。
• 當${\displaystyle \Delta <0\,\!}$，则方程没有實數根，也即与 ${\displaystyle x}$ 轴没有交点，因为${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$是共軛複數。

设${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$和${\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$，我们可以把${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$因式分解为${\displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$。

二次函数可以表示成以下三种形式：

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ 称为一般形式或多项式形式。
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$ 称为因子形式或交点式，其中${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$是二次方程的两个根，${\displaystyle (r_{1},0)}$,${\displaystyle (r_{2},0)}$ 是抛物线与${\displaystyle x}$轴的两个交点。
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}$ 称为标准形式或顶点形式，${\displaystyle (h,k)}$即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

${\displaystyle h}$代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle k}$展開後比較後可得 ${\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}$

不通過${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$求${\displaystyle k}$及${\displaystyle h}$公式：

• ${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}$
• ${\displaystyle k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$ (也作${\displaystyle k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$)

而在三種形式中皆出現的${\displaystyle a}$為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

• 系数${\displaystyle a}$控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。${\displaystyle |a|}$越大，开口越小，函数就增长得越快。
• 系数${\displaystyle b}$和${\displaystyle a}$控制了抛物线的对称轴（以及顶点的${\displaystyle x}$坐标）。
• 系数${\displaystyle b}$控制了抛物线穿过${\displaystyle y}$轴时的倾斜度（导数）。
• 系数${\displaystyle c}$控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与${\displaystyle y}$轴的交点。

函数	图像			函数变化	对称轴	开口方向	最大（小）值
${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle a>0}$			当${\displaystyle x>0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$的增大而增大； 当${\displaystyle x<0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$ 的减小而增大	${\displaystyle y}$轴 或${\displaystyle x=0}$	向上	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle a<0}$			当${\displaystyle x>0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$ 的增大而减小； 当${\displaystyle x<0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$ 的减小而减小	${\displaystyle y}$轴 或${\displaystyle x=0}$	向下	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle y=ax^{2}+c}$	${\displaystyle a>0}$			当${\displaystyle x>0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$ 的增大而增大； 当${\displaystyle x<0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$ 的减小而增大	${\displaystyle y}$轴 或${\displaystyle x=0}$	向上	${\displaystyle c}$
${\displaystyle y=ax^{2}+c}$	${\displaystyle a<0}$			当${\displaystyle x>0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$的增大而减小； 当${\displaystyle x<0}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$ 的减小而减小	${\displaystyle y}$ 轴 或 ${\displaystyle x=0}$	向下	${\displaystyle c}$
${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle a>0}$			当${\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}$时，${\displaystyle y}$ 随${\displaystyle x}$的增大而增大； 当${\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$的减小而增大	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$	向上	${\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$
${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle a<0}$			当${\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}$时，${\displaystyle y}$ 随${\displaystyle x}$的增大而减小； 当${\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}$时，${\displaystyle y}$随${\displaystyle x}$的减小而减小	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$	向下	${\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$

当函数与${\displaystyle x}$轴有两个交点时，设这两个交点分别为 ${\displaystyle A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)}$，由根与系数的关系得出^[d]：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$和${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}$

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为${\displaystyle (h,k)\,\!}$。用配方法，可以把一般形式${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$化为：$${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$$^[2][3]

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：$${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}$$如果二次函数是因子形式${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$，则两个根的平均数$${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}$$就是顶点的${\displaystyle x}$坐标，因此顶点位于$${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}$$${\displaystyle a<0\,\!}$时，顶点也是最大值；${\displaystyle a>0\,\!}$时，则是最小值。

经过顶点的竖直线$${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$$又称为抛物线的对称轴。

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}$$然后，求出${\displaystyle f'(x)\,\!}$的根：$${\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}$$因此，${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}$是${\displaystyle f(x)\,\!}$的${\displaystyle x\,\!}$值。现在，为了求出${\displaystyle y\,\!}$，我们把${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$代入 ${\displaystyle f(x)\,\!}$：$${\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}$$所以，最大值或最小值的坐标为：$${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}}$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle f(x)}$有最大或最小值${\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$。

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果${\displaystyle a>0\,\!}$，则方程${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果${\displaystyle a<0\,\!}$，则方程${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数是以下形式的二次多项式：$${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}$$这个函数描述了一个二次曲面。把${\displaystyle f(x,y)\,\!}$设为零，则描述了曲面与平面${\displaystyle z=0\,\!}$的交线，它是一条圆锥曲线。

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}$，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,}$，则当${\displaystyle A>0}$时函数具有最小值，当${\displaystyle A<0}$具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 ${\displaystyle (x_{m},y_{m})\,}$ 取得，其中：$${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}$$$${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}$$如果${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$且${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}$，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$且${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,}$，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当${\displaystyle A>0}$时取得最大值，${\displaystyle A<0}$时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

• 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

• 抛物线

• 埃里克·韦斯坦因. Quadratic. MathWorld.