二叉堆

二叉堆
类型	二元樹／堆
发明时间	1964年
发明者	J·W·J·威廉斯（英语：J. W. J. Williams）
用大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差 空间 ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ 搜索 ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ 插入 ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$ 寻找最小值 ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle O(1)}$ 删除最小值 ${\displaystyle O(\log n)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$

二叉堆（英語：Binary heap）是一种特殊的堆，二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。二叉堆满足堆特性：父節点的键值总是保持固定的序关系于任何一个子节点的键值，且每个節点的左子树和右子树都是一个二叉堆。

当父節点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为「最大堆」。当父節点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为「最小堆」。

二叉堆一般用数组来表示。如果根节点在数组中的位置是1，第n个位置的子节点分别在2n和 2n+1。因此，第1个位置的子节点在2和3，第2个位置的子节点在4和5。以此类推。这种基于1的数组存储方式便于寻找父节点和子节点。

如果存储数组的下标基于0，那么下标为i的节点的子节点是2i + 1与2i + 2；其父节点的下标是⌊floor((i − 1) ∕ 2)⌋。函数floor(x)的功能是“向下取整”，或者说“向下舍入”，即取不大于x的最大整数（与“四舍五入”不同，向下取整是直接取按照数轴上最接近要求值的左边值，即不大于要求值的最大的那个值）。比如floor(1.1)、floor(1.9)都返回1。

如下图的两个堆：

            1                                 11                          
         /      \                          /      \ 
       2         3                       9         10
    /    \     /   \                   /   \     /    \ 
   4      5   6     7                5      6   7      8
  / \    / \                        / \    / \
 8  9   10 11                      1   2  3   4 

将这两个堆保存在以1开始的数组中：

位置:  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
左图:  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
右图: 11  9 10  5  6  7  8  1  2  3  4

对于一个很大的堆，这种存储是低效的。因为节点的子节点很可能在另外一个内存页中。B-heap是一种效率更高的存储方式，把每个子树放到同一内存页。

如果用指针链表存储堆，那么需要能访问叶节点的方法。可以对二叉树“穿线”(threading)方式，来依序遍历这些节点。

在二叉堆上可以进行插入节点、删除节点、取出值最小的节点、减小节点的值等基本操作。

在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点（称作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比较当前节点与父节点，不满足「堆性质」则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为${\displaystyle O(\log n)}$。

删除根节点用于堆排序。

对于最大堆，删除根节点就是删除最大值；对于最小堆，是删除最小值。然后，把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点：对于最大堆，父节点如果小于具有最大值的子节点，则交换二者。这一操作称作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至当前节点与它的子节点满足「堆性质」为止。

下属对最大堆的自上而下调整堆的伪代码中，数组A的下标索引值是从1开始：

Max-Heapify^[1] (A, i):
 left ← 2i
 right ← 2i + 1
 largest ← i
 if left ≤ heap_length[A] and A[left] > A[largest] then:
 largest ← left
 if right ≤ heap_length[A] and A[right] > A[largest] then:
 largest ← right
 if largest ≠ i then:
 swap A[i] ↔ A[largest]
 Max-Heapify(A, largest)

一个直观办法是从单节点的二叉堆开始，每次插入一个节点。其时间复杂度为${\displaystyle O(n\log n)}$。

最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始，自底向上对每一个子树执行删除根节点时的Max-Heapify算法（这是对最大堆而言）使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言，假设高度为h的子树均已完成二叉堆化，那么对于高度为h+1的子树，把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整，最多需要h步完成二叉堆化。可以证明，这个算法的时间复杂度为${\displaystyle O(n)}$。

建造最大堆的伪代码：

Build-Max-Heap^[1] (A):
 heap_length[A] ← length[A]
 for i ← floor(length[A]/2) downto 1 do
 Max-Heapify(A, i)

最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中，然后构造新的二叉堆。时间复杂度为${\displaystyle O(\log n\log k)}$，其中n、k为两个堆的元素数目。

如果经常需要合并两个堆的操作，那么使用二项式堆更好，其时间复杂度为${\displaystyle O(\log n)}$。

• 最大—最小堆

• http://mathworld.wolfram.com/Heap.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20040611075754/http://www.policyalmanac.org/games/binaryHeaps.htm