鏈複形

喺數學入邊，鏈複形係一種代數結構，由一列嘅阿貝爾羣（或者模）構成，而且連續兩個羣之間都有一個同態，一個同態嘅映像喺下一個同態嘅核入邊。畀一條鏈複形，可以計佢嘅同調，同調係用嚟度佢啲映像同下一個核之間差幾多。如果同調係零，即係每一個映像都啱啱好等於下一個同態嘅核，呢種鏈複形就叫正合序列。

上鏈複形同鏈複形好似，差別係佢嘅同態方向係掉轉嘅，對應嘅同調會叫做上同調。

喺代數拓樸入邊，對一個拓樸空間${\displaystyle X}$可以定義奇異鏈複形，係由啲「由單純形打去${\displaystyle X}$嘅連續函數」組成，個鏈複形入邊嘅同態就係睇呢啲函數限制落去啲單純形嘅邊界嗰陣係點。對應嘅同調叫做奇異同調，可以作為一個拓樸空間嘅不變量。

同調代數呢門學科會研究鏈複形，不過鏈複形可以用落好多唔同嘅學科到，抽像代數、伽華理論、微分幾何、代數幾何都用得到佢。

一個鏈複形${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$就係一列嘅阿貝爾羣（或者模）..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ...，連續兩個之間有一個同態連接著，呢個同態通常叫邊界算子或者微分：d_n : A_n → A_n−1，而且佢哋連續兩個複合埋一齊係零映射，寫出嚟就係d_n ∘ d_n+1 = 0，或者唔要個標記嘅話，就寫做d² = 0。成條鏈複形亦都可以咁樣寫出嚟：

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d_{0}}}A_{0}{\xleftarrow {d_{1}}}A_{1}{\xleftarrow {d_{2}}}A_{2}{\xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

上鏈複形${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$係鏈複形嘅對偶概念，係一列嘅阿貝爾羣（或者模）..., A⁰, A¹, A², A³, A⁴, ...，連續兩個之間有一個同態dⁿ : Aⁿ → Aⁿ⁺¹連接著，符合dⁿ⁺¹ ∘ dⁿ = 0。呢個同態通常叫上邊界算子或者上微分，同樣可以好似鏈複形咁寫出嚟：

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

A_n或者Aⁿ入邊個標號n一般叫做度或者維度。鏈複形同上鏈複形嘅分別在於，鏈複形入邊微分係會降低個維度，而上鏈複形入邊係會增加維度。所有可以喺鏈複形上邊定義嘅嘢都可以定義落去上鏈複形度，唯一係要調整返呢個增加/降低維度，同埋會加一個「上」（co-）字。喺呢篇文入邊，定義會落喺鏈複形度。

有界鏈複形係指嗰啲得中間有限個${\displaystyle A_{n}}$唔係零，其他左邊同右邊嘅都全部係零嗰啲鏈複形。例子有有限單純複形嘅奇異同調對應嘅鏈複形。一條鏈複形如果超過咗某個維度N就全部係零嘅話，就叫做有上界，低過某個維度就係零嘅話就叫有下界。明顯一個鏈複形係有界若且唯若佢同時有上界同下界。

• Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.