自然對數

自然對數（Natural logarithm）係以e為基嘅對數函數（${\displaystyle \ln x\!}$），佢嘅逆函數—自然指數${\displaystyle e^{x}\!}$—係以e為基嘅指數函數。

自然對數嘅一般以${\displaystyle \ln x\!}$表示，如果唔想同以10做基嘅常用對數${\displaystyle \log _{10}x\!}$混淆，可以用「全寫」${\displaystyle \log _{e}x\!}$。

而自然指數表示方法係${\displaystyle e^{x}=\exp(x)\!}$。其中${\displaystyle x\!}$可以係任意複數。

${\displaystyle \ln(x+1)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\ |x|<1}$

以下係另外一條展開式： ${\displaystyle \ln {x}=\sum _{N=0}^{+\infty }{\frac {2(x-1)^{2N+1}}{(2N+1)(x+1)^{2N+1}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\rm {d}}e^{x}}{{\rm {d}}x}}&=&e^{x}\\&{\frac {{\rm {d}}\ln \!|x|}{{\rm {d}}x}}&=&{\frac {1}{x}}\\&\int \ln x\ {\rm {d}}x&=&x\ln x-x+C\end{aligned}}}$

自然指數有應用響表達放射衰變（放射性）之類關於衰減嘅過程，例如放射性原子數目N隨時間變化率${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-pN}$，常數p係原子衰變概率，積分得到${\displaystyle N(t)=N(0)e^{-pt}}$。

響Logistic人口模型入面，人口N隨時間嘅變化率${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN(K-N)}$，其中r係增長率，K係環境承載力，解呢個微分方程，得到${\displaystyle N(t)={\frac {K}{1+({\frac {K}{N(0)}}-1)e^{-Krt}}}}$，呢個函數亦都同自然指數有關。

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