Линейная алгебра и геометрия (углубленный курс)

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Зайцева Юлия Ивановна, Игнатьев Михаил Викторович, Трушин Антон Николаевич, Трушин Дмитрий Витальевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Линейная алгебра является базовым инструментом используемым наравне с математическим анализом во всех прикладных дисциплинах. Курс развивает абстрактное математическое мышление с одной стороны и знакомит с мощными инструментами, применяемыми в машинном обучении, обработке сигналов и других областях компьютерных наук.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
Формирование у студентов навыков структурного математического мышления (на котором сейчас базируются все парадигмы языков программирования)
Формирование у студентов навыков использования линейной алгебры прикладных задачах, в томчисле экономических, геометрических, задачах обработки сигналов и особенно возникающих в задачах анализа данных и в компьютерных науках

Планируемые результаты обучения

Знать альтернативу Фредгольма
Знать геометрический смысл индексов инерции
Знать геометрическую интерпретацию кратности корня минимального и характеристического многочленов
Знать две конструкции для поля комплексных чисел
Знать двойственность для подпространств для невырожденной билинейной формы
Знать доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел
Знать и уметь выполнять все матричные оператции
Знать какие характеристики матрицы билинейной формы зависят от базиса, а какие нет
Знать классификацию СЛУ..........................
Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторных пространств в разных парах базисов
Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторых пространств в разных парах базисов
Знать критерий невырожденности матриц
Знать лемму о стабилизации для линейных операторов
Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
Знать определение векторного пространства, умение привести примеры векторных пространств
Знать определение и уметь находить спектр матрицы
Знать определение и формулы для вычисления векторного произведения
Знать определение матричной нормы
Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
Знать определение проективного пространства, подпространства и гиперповерхности
Знать определение репера и уметь пересчитывать координаты вектора в разных реперах
Знать определение ядра и образа линейного отображения и связь их размерностей
Знать понятие комплексификации и связи характеристик оператора при комплексификации
Знать применение проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках
Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
Знать связь инвариантных подпространств с углом нулей в матрице оператора
Знать способы вычисления размеров клеток в ЖНФ по матрице оператора
Знать три определения для определителя: (1) явная формула, (2) через полилинейные свойства, (3) через умножение матриц
Знать утверждение о том, сколько каких многообразий проходит через k+1 точку
Знать формулировку теоремы о вещественной ЖНФ
Знать формулу для проектора и ортопроектора
Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
Знать формулы для смешенного произведения и его связь с векторным произведением
Знать явную формулу для обратной матрицы
Знать, когда существует скалярное произведение, чтобы заданный оператор стал движением или самосопряженным
Умение находить блочную структуру матрицы линейного отображения связанную с разложением пространств в прямую сумму
Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
Уметь вычислять матрицу линейного отображения, знать формулы замены матрицы при смене базиса
Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
Уметь вычислять следующие характеристики линейных отображений: след, определитель, характеристический и минимальный многочлены, спектр
Уметь диагонализировать симметрическую билинейную форму следующими методами: симметричный гаусс, лагранж, якоби
Уметь диагонализировать эрмитовы и косоэрмитовы формы
Уметь задавать линейные подмногообразия двумя способами
Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
Уметь находить SVD (в разных вариациях)
Уметь находить базис векторного пространства, проверять является ли данная система базисом, выделять базис из заданной системы
Уметь находить двойственны базис в сопряженном пространстве
Уметь находить жорданов базис согласованный с ЖНФ для линейного оператора
Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
Уметь находить матрицу билинейной формы в заданных базисах
Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
Уметь находить собственные значения и векторы
Уметь находить собственные и корневые подпространства
Уметь определять вид квадратичной поверхности
Уметь определять ЖНФ для линейного оператора
Уметь определять когда две матрицы задают один и тот же линейный оператор в разных базисах
Уметь определять когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму в разных базисах
Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
Уметь определять положительную определенность эрмитовой формы
Уметь определять сигнатуру симметрической билинейной формы над полем вещественных чисел
Уметь определять сигнатуру эрмитовых форм
Уметь пересчитывать матрицу билинейной формы в новых базисах
Уметь переходить от однородных координат к аффиным и наоборот (когда это возможно)
Уметь пользоваться поляризационной формулой
Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
Уметь пользоваться формулой разложения по строке/столбцу определителя
Уметь приводить движение к каноническому виду
Уметь приводить самосопряженный оператор к каноническому виду
Уметь приводить симметрическую форму к главным осям
Уметь применять формулы Крамера
Уметь проверять является ли билинейная форма скалярным произведением
Уметь проводить ортогонализацию Грама-Шмидта
Уметь раскладывать перестановки в независимые циклы
Уметь раскладывать пространство в прямую сумму корневых подпространств над полем комплексных чисел
Уметь распознавать вид взаимного расположения линейных подмногообразий и находить расстояния и углы между ними, когда это имеет смысл
Уметь решать задачу о низкоранговом приближении
Уметь решать переопределенные системы методом наименьших квадратов
Уметь решать СЛУ и ОСЛУ методом Гаусса
Уметь сводить задачи о 3-х, 2-х и 1-о мерных пространствах к фактам из школьной геометрии
Уметь строить изофорфизм между билинейными формами и операторами
Уметь строить линейные отображения двумя способами: с помощью базиса и с помощью матриц

Содержание учебной дисциплины

Системы линейных уравнений
Поля
Перестановки и определитель
Векторные пространства
Линейные отображения
Линейные операторы
Линейные операторы и ЖНФ
Функционалы
Операторы в Евклидовых и Эрмитовых пространствах
Билинейные формы
Матрицы
Евклидовы пространства
Полуторалинейные формы
Аффинная геометрия

Элементы контроля

Контрольная 2
Домашние задания 2
Работа на семинаре 2
Коллоквиум 2
Экзамен 2
Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
Контрольная 1
Домашние задания 1
Работа на семинаре 1
Коллоквиум 1
Экзамен 1
Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.175 * Домашние задания 1 + 0.25 * Коллоквиум 1 + 0.175 * Контрольная 1 + 0.1 * Работа на семинаре 1 + 0.3 * Экзамен 1
2024/2025 4th module
Оитоговая = min(10; 0,35*Оэкз + 0,22*Околл + 0,15*Окр + 0,15Одз +0,15*Осем), где Оэкз - оценка за экзамен, Околл - оценка за коллоквиум, Окр - оценка за контрольную работу, Одз - оценка за домашние задания, Осем - оценка за работу на семинарах.

Список литературы

Авторы

Гайфуллин Сергей Александрович
Зайцева Юлия Ивановна
Сысоева Алевтина Александровна
Аланов Айбек
Шафаревич Антон Андреевич
Авдеев Роман Сергеевич
Смирнов Сергей Валерьевич
Оруджева Альбина Александровна
Трушин Дмитрий Витальевич

Программа дисциплины