Nhóm giao hoán

Nhóm giao hoán là tập hợp G cùng với một phép toán hai ngôi ${\displaystyle *:G\times G\rightarrow G}$  thỏa mãn các tiên đề sau:

1. Tính kết hợp: phép toán có tính kết hợp, tức là:

${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c\ \forall \ a,b,c\in G}$ 

1. Phần tử đơn vị: tồn tại duy nhất một phần tử gọi là phần tử đơn vị (ký hiệu là 1 hay ${\displaystyle 1_{G}}$ ) sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì ${\displaystyle a*1=1*a=a}$ .
2. Phần tử nghịch đảo: với mỗi phần tử a thuộc G, tồn tại duy nhất một phần tử x, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho ${\displaystyle a*x=x*a=1}$ .
3. Tính giao hoán: phép toán có tính giao hoán:.

${\displaystyle a*b=b*a\ \forall \ a,b\in G}$ 

Nhóm mà phép toán không có tính giao hoán được gọi là nhóm phi abel

CÓ hai cách ký hiệu chính cho nhóm Abel, ký hiệu phép cộng và ký hiệu phép nhân.

Ký hiệu	Phép toán	Phần tử đơn vị	Lũy thừa	Nghịch đảo
Phép cộng	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
Phép nhân	${\displaystyle x\cdot y}$  hay ${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

Thường thì ký hiệu phép nhân được sử dụng cho nhóm nói chung, và ký hiệu phép cộng thường được sử dụng cho mô đun và vành. Ký hiệu phép cộng đôi khi thường sử dụng để nhấn mạnh nhóm mà phép toán trong đó có tính giao hoán khi ta đang xét cả hai nhóm giao hoán và không giao hoán, một số ngoại lệ nổi bật khác bao gồm gần vành và nhóm sắp thứ tự một phần, trong đó phép toán ký hiệu theo phép cộng kể cả khi nhóm không giao hoán.^[2]:28–29

Để kiểm tra nhóm hữu hạn có giao hoán hay không, một bảng (hoặc ma trận) – được gọi là bảng Cayley – được xây tương tự như bảng cửu chương. Cho nhóm ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$  cùng với phép toán ${\displaystyle \cdot }$ , ô tại vị trí ${\displaystyle (i,j)}$  của bảng này chứa tích ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$ .

Nhóm giao hoán khi và chỉ khi bảng này đối xứng qua đường chéo chính. Điều này đúng bởi nhóm giao hoán khi và chỉ khi khi và chỉ khi ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$  với mọi ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ ,và đúng khi và chỉ khi các ô ${\displaystyle (i,j)}$  của bảng bằng với ô ${\displaystyle (j,i)}$  với mọi ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ , tức bảng đối xứng qua đường chéo chính.

• Mọi nhóm cyclic là nhóm Abel. Thật vậy, cho G là nhóm cyclic, nếu x, y là 2 phần tử của G thì ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx.}$  Như vậy nhóm các số nguyên ${\displaystyle {\mathsf {Z}}}$  là nhóm Abel.
• Mọi vành đều là nhóm Abel ứng với phép cộng. Trong vành giao hoán, các phần tử có nghịch đảo tạo thành một nhóm nhân giao hoán. Ví dụ tập tất cả các số thực là nhóm Abel ứng với phép cộng, tập tất cả các số thực khác không tạo thành nhóm Abel ứng với phép nhân.
• Mọi nhóm con, nhóm thương của nhóm Abel là nhóm Abel.
• Nhóm các ma trận nghịch đảo bậc n (n > 1) dưới trường các số thực không tạo thành nhóm Abel với phép toán nhân.

Cho G là một nhóm Abel (giao hoán)

• Nếu n là số tự nhiên và x là một phần tử của G, thì phần tử x+x+..+x (n lần) có thể viết tắt là nx và (-n)x = - (nx). Như vậy thì G trở thành một module trên vành ${\displaystyle {\mathsf {Z}}}$  các số nguyên (điều ngược lại cũng đúng, tức là mọi module trên vành các số nguyên có thể hiểu là một nhóm Abel).
• Nếu ${\displaystyle f,g:G\to H}$  là hai đồng cấu nhóm giữa hai nhóm Abel, thì tổng của chúng ${\displaystyle f+g}$ , định nghĩa bởi ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ , cũng là đồng cấu nhóm. (Điều này không đúng khi ${\displaystyle H}$  không phải nhóm Abel.) Tập ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$  chứa tất cả các đồng cấu nhóm từ ${\displaystyle G}$  đến ${\displaystyle H}$  cũng là nhóm Abel.

• Phân loại các nhóm abel hữu hạn sinh

• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (ấn bản thứ 3). Wiley. tr. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

Bài viết liên quan đến đại số trừu tượng này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s