Trigonometriya

Hindistonliklar ilk marta trigonometrik funksiyalar qiymatlari jadvalini kashf qilganlar. Shumer astronomlari aylanalarni 360 gradusga bo'lish orqali burchak o'lchovini o'rganishdi^[1]. Ular va keyinchalik bobilliklar o'xshash uchburchaklar tomonlari nisbatlarini o'rgandilar va bu nisbatlarning ba'zi xususiyatlarini kashf etdilar, lekin buni uchburchaklarning tomonlari va burchaklarini topishning tizimli usuliga aylantirmadilar.Qadimgi nubiyaliklar ham xuddi shunday usuldan foydalanganlar^[2]. Miloddan avvalgi III asrda Yevklid va Arximed kabi yunon matematiklari akkordlar va aylanalarga chizilgan burchaklarning xossalarini oʻrganib, zamonaviy trigonometrik formulalarga ekvivalent boʻlgan teoremalarni isbotladilar, garchi ular ushbu formulalarnini algebraik jihatdan emas, balki geometrik jihatdan isbot qilgan boʻlsalar ham. Miloddan avvalgi 140-yilda Gipparx (Nikea, Kichik Osiyo) zamonaviy sinus qiymatlari jadvallariga oʻxshash akkordlarning birinchi jadvallarini bergan va ulardan trigonometriya va sferik trigonometriya masalalarini yechishda foydalangan^[3]. Milodiy II asrda yunon-misr astronomi Ptolomey (Misrning Iskandariya shahridan) oʻzining “Almagest” asarining 1-kitobi, 11-bobida batafsil trigonometrik jadvallarni (Ptolemeyning akkordlar jadvali) tuzgan^[4]. Ptolemey o'zining trigonometrik funksiyalarini aniqlash uchun akkord uzunligidan foydalangan, bu biz ishlatadigan sinus funksiyasidan ozgina farq qiladi. Biz sin(α) deb ataydigan qiymatning akkord uzunligini Ptolemey jadvalidagi kerakli burchak qiymati ikki barobarini (2α) aniqlash va keyin bu qiymatni ikkiga bo'lish orqali topish mumkin. Batafsilroq jadvallar yaratilgunga qadar asrlar o'tdi va Ptolemeyning risolasi keyingi 1200 yil davomida O'rta asr Vizantiyasi, Islom va keyinchalik G'arbiy Yevropa dunyolarida astronomiyada trigonometrik hisoblarni amalga oshirish uchun ishlatilgan. Zamonaviy sinus funksiyasi birinchi marta Surya Siddxantada uchragan va uning xususiyatlarini V asrda (milodiy) hind matematiki va astronomi Aryabhata hujjatlashtirgan^[5][6]. Bu yunon va hind asarlari oʻrta asr islom matematiklari tomonidan tarjima qilingan va kengaytirilgan.

X asrga kelib islom matematiklari barcha oltita trigonometrik funksiyadan foydalanib, ularning qiymatlarini jadvalga kiritib, sferik geometriya masalalariga qoʻllaganlar. Fors olimi Nosiriddin at-Tusiy trigonometriyaning oʻziga xos matematik fan sifatida yaratuvchisi sifatida taʼriflangan^[7]. U birinchi bo'lib trigonometriyani astronomiyadan mustaqil matematik fan sifatida ko'rib chiqdi va sferik trigonometriyani hozirgi shaklga keltirdi. U sferik trigonometriyada to‘g‘ri burchakli uchburchakning oltita aniq holatlarini sanab o‘tdi va o‘zining “Sektor rasmi to‘g‘risida” asarida tekislik va sferik uchburchaklar uchun sinuslar qonunini bayon qildi, sferik uchburchaklar uchun tangenslar qonunini ochdi va ikkalasiga ham isbotlar keltirdi. Trigonometrik funksiyalar va usullar haqidagi bilimlar G'arbiy Yevropaga Ptolemeyning yunoncha "Almagest" asarining lotincha tarjimalari, shuningdek, Al Battani va Nosiriddin at-Tusiy kabi fors va arab astronomlarining asarlari orqali yetib bordi. Shimoliy yevropaliklarning matematikada trigonometriyaga oid eng qadimgi asarlaridan biri bu XV asr nemis matematigi Regiomontanusning "De Triangulis" asari boʻlgan. Shu bilan birga, Almagestning yunon tilidan lotin tiliga yana bir tarjimasi Jorj Trebizond tomonidan yakunlandi. XVI asrda Shimoliy Yevropada trigonometriya hali ham kam miqdorda ma'lum edi.

Navigatsiya talablari va yirik geografik hududlarning aniq xaritalariga ortib borayotgan ehtiyoj tufayli trigonometriya matematikaning asosiy sohasiga aylandi. Trigonometriya so'zi ilk bor Bartholomeush Pitiushning 1595-yilda chop etilgan "Trigonometriya" asarida uchragan. Kompleks sonlarni trigonometriyaga to‘liq kiritgan shved olimi Leonard Eyler edi. Shotland matematiklari Jeyms Gregori(XVII asr) va Kolin Maklaurin(XVIII asr)ning ishlari trigonometrik qatorlarning rivojlanishiga taʼsir koʻrsatdi. Yana, XVIII asrda Bruk Teylorning Teylor seriyalari yaralgan.

 

Katetlari BC = a, AC = b va gipotenuzasi AB = c boʻlgan to'g'ri burchakli ABC uchburchak berilgan bo'lsin(∠C = 90°)

• O'tkir burchak sinusi (sin) - o'tkir burchak qarshisidagi katetning gipotenuzaga nisbatiga teng:

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}}}$  , ${\displaystyle \sin B={\frac {b}{c}}}$ .

• O'tkir burchak kosinusi (cos) - o'tkir burchakka yopishgan katetning gipotenuzaga nisbatiga teng:

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}}}$ , ${\displaystyle \cos B={\frac {a}{c}}}$ .

• O'tkir burchak tangensi (tan) - o'tkir burchak qarshisidagi katetning unga yopishgan katetga nisbatiga teng:

${\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\sin B}}}$ , ${\displaystyle \tan B={\frac {b}{a}}={\frac {\sin B}{\sin A}}}$ .

• O'tkir burchak kotangensi (cot) - o'tkir burchakka yopishgan katetning uning qarshisidagi katetga nisbatiga teng:

${\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {\cos A}{\cos B}}}$ , ${\displaystyle \cot B={\frac {a}{b}}={\frac {\cos B}{\cos A}}}$ .

 

Trigonometrik funksiyalar radiusi 1 boʻlgan birlik aylana orqali ifodalanishi ham mumkin. Birlik aylana markazi A(0;0) nuqta bo'lsin va birlik aylanada B(x;y) nuqta olingan bo'lsin (ma'lumki AB = 1). ABC to'g'ri burchakli uchburchakda (bunda AB - gipotenuza,) AC = cosA va BC = sinA. Demak, x=cosA va y=sinA.

Pastda ayrim trigonometrik funksiyalar uchun qiymatlar jadvali berilgan.

Ayrim trigonometrik funksiyalar qiymatlari jadvali

Funksiya nomi	0	${\displaystyle \pi /6}$ °	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
sinus	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$
kosinus	${\displaystyle {\ce {1}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle -1}$
tangens	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	aniqlanmagan	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$
kotangens	aniqlanmagan	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	aniqlanmagan

Quyida 4 ta trigonometrik funksiyalar uchun grafiklar keltirib o'tilgan.

Funksiya nomi	Davriyligi	Aniqlanish sohasi	Qiymatlar sohasi	Grafik
sinus	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
kosinus	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
tangens	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi (n\in \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
kotangens	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi n(n\in \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Ushbu funksiyalar davriyligi tufayli inyektiv emas.

${\displaystyle tgx*ctgx=1}$ 

${\displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}$ 

${\displaystyle ctgx={\frac {cosx}{sinx}}}$ 

${\displaystyle tgx={\frac {sinx}{cosx}}}$ 

• Aryabhataning sinuslar jadvali
• Trigonometrik funksiyalar
• Uchburchak
• Aylana
• Geometriya
• Burchak