Dirichlet testi

Matematikte Dirichlet testi, bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir ve matematikçi Johann Dirichlet'nin arkasından isimlendirilmiştir.

Gerçel sayıların iki dizisi, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ve${\displaystyle \{b_{n}\}}$, verilsin. Bu diziler, M bir sabit iken aşağıdakileri sağlıyorsa

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}>0}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• her N pozitif tamsayısı için ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$

o zaman

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

serisi yakınsar.

Dirichlet testinin bir sonucu

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}$

durumunda daha genel bir kullanımı olan almaşık seri testidir.

Bir diğer sonuç ise ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 'nin sıfıra giden azalan bir dizi olduğu her zaman ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ serisinin yakınsamasıdır.