Matematik 'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu 'nun logaritma 'sının
(m + 1). türevi olarak tanımlanır.
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
ψ
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z).}
Burada
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
digama fonksiyonu 'dur ve
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}
trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.
Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)}
ψ
(
0
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}
ψ
(
2
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(2)}(z)}
ψ
(
3
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(3)}(z)}
ψ
(
4
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}
Poligama fonksiyonunun integral gösterimi
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
(
m
+
1
)
∫
0
∞
t
m
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}
Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.
tekrarlayan ilişki
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
ψ
(
m
)
(
z
)
+
(
−
1
)
m
m
!
z
−
(
m
+
1
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.}
çarpım teoremi
m
>
1
{\displaystyle m>1}
k
m
ψ
(
m
−
1
)
(
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
m
−
1
)
(
z
+
n
k
)
{\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}
ve
m
=
0
{\displaystyle m=0}
digama fonksiyonu adı verilir;
k
(
ψ
(
k
z
)
−
log
(
k
)
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
z
+
n
k
)
.
{\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}
Poligama fonksiyonu seri gösterimi
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
m
+
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}
m > 0 ve z herhangi bir negatif tam sayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu 'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}
Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tam sayı olmak zorunda değildir.
bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,
1
/
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
/
n
{\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}
Weierstrass faktörizasyon teoremidir .
Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}}
Böylece, gama fonksiyonunun doğal logaritma 'sının basitçe gösterimi:
ln
Γ
(
z
)
=
−
γ
z
−
ln
(
z
)
+
∑
n
=
1
∞
(
z
n
−
ln
(
1
+
z
n
)
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln(1+{\frac {z}{n}})\right)}
Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak
ψ
(
n
)
(
z
)
=
d
n
+
1
d
z
n
+
1
ln
Γ
(
z
)
=
−
γ
δ
n
0
−
(
−
1
)
n
n
!
z
n
+
1
+
∑
k
=
1
∞
1
k
δ
n
0
−
(
−
1
)
n
n
!
(
k
+
z
)
n
+
1
{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}}
Burada
δ
n
0
{\displaystyle \delta _{n0}}
Kronecker delta 'sıdır.
Burada Taylor serisi z = 1 değeri için
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
m
+
k
+
1
(
m
+
k
)
!
ζ
(
m
+
k
+
1
)
z
k
k
!
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}
ve |z | < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu 'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.
