Birler matrisi

Matematikte, birler matrisi her ögesi bire eşit olan matristir.^[1] Standart gösterimi şöyledir:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Birler matrisi birim matris ile karıştırılmamalıdır.

n×n boyutundaki birler matrisi J aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• J'nin izi n'dir,^[2] eğer n 1 ise matrisin determinantı 1 dir, aksi halde 0'dır.
• J'nin kertesi 1'dir. Özdeğeri n ya da 0'dır.^[3]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J,k=1,2,\ldots .\,}$^[4]
• Matris ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ eşgüçlü'dür. Bu üstteki özelliğin bir doğrudan sonucudur.^[4]
• Üstel matrisi ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J}$'dir.
• J Hadamard çarpımının yüksüz ögesidir.^[5]