சமன்பாடு

கணிதத்தில் சமன்பாடு அல்லது ஈடுகோள் (equation) என்பது இரு கோவைகள் சமமானவை என்பதை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு கூற்று.^[2] ஒரு சமன்பாட்டில், சமமான இரு கோவைகளுக்கு இடையே சமக்குறியிட்டு (=) எழுதுவது அண்மைக்கால வழக்கமாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 2 + 3 = 5 என்பது ஒரு எண்கணிதச் சமன்பாடு. இதனை 2 கூட்டல் 3 ஈடு 5 என்று படிக்கலாம், அல்லது 2 கூட்டல் 3 சமம் 5 என்று படிக்கலாம். அதே போல 2 + 4 = 3 x 2 என்பதும் ஒரு சமன்பாடு. ம = 6 என்றால் ம³ = 216 என்பனவும் சமன்பாடுகள் (ஈடுகோள்கள்).
• ${\displaystyle x+3=5\,}$ என்பது ஒரு எளிய இயற்கணிதச் சமன்பாடு.

இச்சமன்பாடு, x+3 மற்றும் 5, இவையிரண்டும் சமம் என்பதைக் குறிக்கிறது.

${\displaystyle =\,}$ எனும் சமக்குறியீடு, வேல்சு]] கணிதவியலாளர் ராபர்ட் ரெக்கார்டால் (1510–1558) கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஒரேயளவு நீளம் கொண்ட இரு இணைகோடுகளை விட வேறெவையும் சமமானவையாக அமைய முடியாது என்பது ராபர்ட் ரெக்கார்டின் கருத்து.

மதிப்பறியப்பட்ட கணியங்களுக்கும் மதிப்பறியப்படாத கணியங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகளை சமன்பாடுகள் தருகின்றன. மதிப்பறியப்படாத கணியங்கள் x, y, z, w, … எனும் முடிவிலமையும் ஆங்கில எழுத்துக்களாலும், மதிப்பறியப்பட்ட கணியங்கள் a, b, c, d, … எனும் ஆரம்ப ஆங்கில எழுத்துக்களாலும் குறிக்கப்படுகின்றன. மதிப்பறியப்படாத கணியங்கள் மாறிகள் எனவும் மதிப்பறியப்பட்ட கணியங்கள் மாறிலிகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு சமன்பாட்டிலுள்ள மாறிகளை, அதிலுள்ள மாறிலிகள் மூலமாகக் காண்பது அச்சமன்பாட்டினைத் தீர்த்தல் அல்லது தீர்வு காணல் எனப்படும். ஒரு மாறியில் அமைந்த சமன்பாட்டில் அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அம்மாறியின் மதிப்பு, அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்லது மூலம் எனப்படும். ஒருங்கமைந்த ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுதியிலுள்ள சமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்திருக்கும். அச்சமன்பாடுகள் அனைத்தையும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யும் மாறிகளின் மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வாகும்.

இரு கோவைகள் சமமானவை என்பதை உறுதிப்படுத்தும் கூற்றாக அமையும் சமன்பாடானது, அக் கோவைகளுக்கு இடையே சமக்குறியிட்டு (=) எழுதப்படுகிறது. சமப்படுத்தப்படும் கோவைகள் இரண்டும் எண்கோவையாக அல்லது இரண்டும் இயற்கணிதக்கோவையாக அல்லது ஒன்று இயற்கணிதக்கோவையாகவும் மற்றொன்று எண்கோவையாகவும் அமையலாம்.

எண்கணிதச் செயற்பாடுகள் வாயிலாக எண்களைச் சேர்த்து உருவாக்கப்படும் தொடர்புகள் ”எண்கோவை” அல்லது ”எண்கணிதக் கோவை” எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 4+(5+7), (2×6)÷6 மற்றும் (5×7)-(7×3-4) ஆகியன எண் கோவைகள்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(2×6)÷6 = 2

4+(5+7) = 16

(5×7)-(7×3-4) = 18

மாறிகள் மற்றும் மாறிலிகள் ஆகியவற்றைக் கணிதச் செயல்பாடுகள் மூலமாகச் சேர்த்து எழுதுவது இயற்கணிதக் கோவை என்றழைக்கப்படுகிறது.

இயற்கணிதக் கோவையொன்றின் முக்கியக் கூறுகளாக அமைபவை:

• உறுப்புகள்

உறுப்பு எனப்படுவது ஒரு மாறியாகவோ அல்லது மாறிலியாகவோ அல்லது மாறி மற்றும் மாறிலிகளின் பெருக்கலின் சேர்க்கையாகவோ அமையும்.

• ஒரு மாறிலி
• ஒரு மாறி
• ஒரு மாறிலி மற்றும் மாறியின் பெருக்குத்தொகை
• இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளின் பெருக்கற்பலன்

எடுத்துக்காட்டு: 2x^2+5x+1 என்னும் இயற்கணிதக் கோவையில், 2x^2, 5x மற்றும் 1 என்பவை கோவையின் உறுப்புகள் ஆகும்.

• உறுப்பின் கெழு

ஓர் உறுப்பில் உள்ள மாறி அல்லது காரணியின் கெழு எனப்படுவது இவ் உறுப்பின் பிறிதொரு கூறாகும். கெழு அல்லது குணகம் (coefficient) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, தொடர் அல்லது கோவையின் உறுப்புகளின் பெருக்கல் காரணியாகும். பொதுவாக கெழுக்கள் எண்களாகவே இருக்கும். அதனால் அவை மாறிலிகளாகும். எனவே எண் கெழு அல்லது எண் குணகம் (Numerical Coefficient) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டில் 2x^2 உறுப்பின் வெழு 2; 5x உறுப்பின் கெழு 5.

• உறுப்பின் அடுக்கு

ஒரு மாறி x ஐ, இரண்டு முறை பெருக்குவதன் பெருக்கற்பலன் x×x=x^2 ஆகும். இதில் x என்பது அடிமானம் எனப்படும். 2 என்பது அடுக்கு எனப்படும்.

• ஒத்த உறுப்புகள்

ஒத்த அடுக்குகளைக் கொண்ட ஒத்த மாறி அல்லது மாறிகளின் பெருக்கல் ஒத்த உறுப்புகள் என்றழைக்கப்படுகிறது. x, 2x, -5x ஆகிய உறுப்புகள் a என்ற மாறியில் அடுக்கு ஒன்றுடையதாக இருப்பதால் இவை ஒத்த உறுப்புகள் ஆகும்.

• வேறுபட்ட உறுப்புகள்

வேறுபட்ட உறுப்புகள் எனப்படுவது வெவ்வேறு அடுக்குகளைக் கொண்ட வெவ்வேறு மாறிகள் அல்லது மாறிகளின் பெருக்கல் ஆகும். 5x, 3y ஆகியவை வேறுபட்ட உறுப்புகளாகும். ஏனெனில் இவற்றின் அடுக்குகள் ஒத்திருந்தாலும் மாறிகள் வேறுபடுகின்றன.

இயற்கணிதக்கோவைகளிலமைந்த சமன்பாடுகள்:

${\displaystyle 5x^{2}+3x+7=0,\,}$

${\displaystyle 2x+1=5,\,}$

${\displaystyle 5x^{2}+3xy+1=5,\,}$

சமன்பாடுகளிலுள்ள செயலிகளின் வகைகள் மற்றும் கணியங்களைப் பொறுத்து அவற்றை வகைப்படுத்தலாம்.

சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகள்:

• இயற்கணிதச் சமன்பாடு (அல்லது) பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
• நேரியல் சமன்பாடு
• இருபடிச் சமன்பாடு
• விஞ்சிய சமன்பாடு
• சார்பியச் சமன்பாடு
• வகையீட்டுச் சமன்பாடு
• தொகையீட்டுச் சமன்பாடு
• டயோஃபேண்டைன் சமன்பாடு (Diophantine equation).

ஒரு சமன்பாட்டில் அமைந்துள்ள மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் அச்சமன்பாடு உண்மையானதாக இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு முற்றொருமை என அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

x -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமன்பாடு உண்மையாவதால் அது ஒரு முற்றொருமையாகும்.

${\displaystyle x(x-1)=x^{2}-x\,.}$

ஆனால் சமன்பாடுகள் அவற்றிலுள்ள மாறிகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாக அமையும். அக்குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ஆகும்.^[3] ஒரு சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் மாறிகளின் மதிப்பை அச்சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle x^{2}-x=0\,.}$

${\displaystyle x(x-1)=0\,.}$

இச்சமன்பாடு, x -ன் இரண்டு மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

${\displaystyle x=0}$ மற்றும் ${\displaystyle x=1}$.

பல கணிதவியலாளர்கள் ^[3] சமன்பாட்டிற்கும் முற்றொருமைக்கும் உள்ள வேறுபாட்டை உணர்த்தும் வகையில் இரண்டாவதைக் குறிப்பதற்கு மட்டுமே சமன்பாடு என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்துகின்றனர். சமன்பாட்டிற்கும் முற்றொருமைக்கும் உள்ள வேறுபாடு நுட்பமானது.

${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\,}$ என்பது முற்றொருமை

${\displaystyle (x+1)^{2}=2x^{2}+x+1\,}$ என்பது சமன்பாடு.

இதன் தீர்வுகள்:

${\displaystyle x=0}$ மற்றும் ${\displaystyle x=1}$.

ஒரு கூற்று முற்றொருமையா அல்லது சமன்பாடா என்பதனை அது கூறப்படும் சூழலைக் கொண்டு தீர்மானிக்கலாம். சில இடங்களில் சமன்பாட்டிற்கு சமக்குறியையும் (${\displaystyle =}$) முற்றொருமைக்கு சமானக் குறியையும் (${\displaystyle \equiv }$) பயன்படுத்துவதன் மூலம் இரண்டுக்குமான வேறுபாடு காட்டப்படுகிறது.

சில இயற்கணித முற்றொருமைகள்:

${\displaystyle (x+y+z)^{2}\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx}$

${\displaystyle (x+y)^{3}\equiv x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}\equiv (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle (x-y)^{3}\equiv x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}\equiv (x-y)(x^{2}+x-y+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\equiv (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)}$

${\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)\equiv x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc}$

ஆரம்ப ஆங்கில எழுத்துக்கள் a, b, c... மாறிலிகளையும் முடிவிலுள்ள ஆங்கில எழுத்துக்கள் ...x, y, z மாறிகளையும் குறிக்கும் வழக்கம் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ரெனே டேக்கார்ட்டால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் ஒரு சமன்பாடு உண்மையானதாக இருக்குமானால் பின்வரும் செயலிகளைப் பயன்படுத்தி மற்றொரு உண்மைச் சமன்பாட்டினை உருவாக்கலாம்:

1. எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூட்டலாம்.
2. எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கழிக்கலாம்.
3. எந்தவொரு மெய்யெண்ணைக் கொண்டும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கலாம்.
4. பூச்சியமற்ற எந்தவொரு மெய்யெண்ணைக் கொண்டும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் வகுக்கலாம்
5. சில சார்புகளைச் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் செயல்படுத்தலாம். அவ்வாறு செய்யும்போது சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் இல்லாமல் போவதற்கோ அல்லது புறம்பான தீர்வுகள் ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்புகள் உண்டு என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ${\displaystyle yx=x}$ சமன்பாட்டிற்கு ${\displaystyle y=1}$ ( x -ன் எந்த மதிப்பிற்கும்) மற்றும் ${\displaystyle x=0}$ (y-ன் எந்த மதிப்பிற்கும்) என இரு தீர்வுகள் உள்ளன.

இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் வர்க்கம் காணக் (அதாவது இருபுறமும் ${\displaystyle f(s)=s^{2}}$ என்ற சார்பைச் செயல்படுத்த) கிடைக்கும் புதிய சமன்பாடு:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}}$,

இச்சமன்பாட்டிற்கு பழைய தீர்வுகள் மட்டுமல்லாது கூடுதலாக ${\displaystyle y=-1}$ ( x -ன் எந்த மதிப்பிற்கும்) என்ற தீர்வும் உள்ளது.

• சமன்பாடுகளின் மீதான இச்செயல்பாடுகள் அனைத்தும் மெய்யெண்களுக்குப் பொருந்தும்.
• சமன்பாடுகள் இயல் எண்களில் அமைந்திருந்தால் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்கள் பொருந்தாது. ஏனென்றால் இயல் எண் கணத்தில் எதிரெண்களும் பின்ன எண்களும் கிடையாது.
• முழு எண்களைச் சார்ந்த சமன்பாடுகளுக்கு வகுத்தல் செயல் பொருந்தாது. ஏனென்றால் முழு எண் கணத்தில் பின்ன எண்கள் இல்லை.

ஒரு சமன்பாட்டிலுள்ள மாறிகளை, அதிலுள்ள மாறிலிகள் மூலமாகக் காண்பது அச்சமன்பாட்டினைத் தீர்த்தல் அல்லது தீர்வு காணல் எனப்படும். ஒரு மாறியில் அமைந்த சமன்பாட்டில் அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அம்மாறியின் மதிப்பு, அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்லது மூலம் எனப்படும். ஒருங்கமைந்த ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுதியிலுள்ள சமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்திருக்கும். அச்சமன்பாடுகள் அனைத்தையும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யும் மாறிகளின் மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வாகும்.

${\displaystyle ax+b=0}$ என்பது ஒருமாறியிலமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடு.

இதன் தீர்வு:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}=0}$

${\displaystyle ax^{2}+by+c=0}$ என்பது ஒரு மாறியிலமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும். இதனை பின்வரும் முறைகளைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்:

• காரணிப்படுத்துதல் முறை
• வர்க்கப் பூர்த்தி முறை
• வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் முறை

மேலுள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் தன்மையை அதன் தன்மைகாட்டி என அழைக்கப்படும் ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ இன் மதிப்பினைக் கொண்டு பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம்:

${\displaystyle b^{2}-4ac>0}$எனில், இரண்டு வெவ்வேறு மெய்யெண் மூலங்கள் அதற்கு இருக்கின்றன.

${\displaystyle b^{2}-4ac=0}$எனில் இரண்டு சமமான மெய்யெண் மூலங்கள் அதற்கு உண்டு.

${\displaystyle b^{2}-4ac<0}$எனில் மெய்யான மூலங்கள் அதற்கு இல்லை.

இரண்டு அல்லது மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரியச் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட முடிவுறு கணம் என்பது அந்த மாறிகளில் உள்ள நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு என்றழைக்கப்படுகிறது. இச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படும்.

நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு இருவகைப்படும். அவை:

• தொகுப்பிலுள்ள அனைத்து சமன்பாடுகளையும் நிறைவு செய்யுமாறு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வாவது இருப்பின், அத்தொகுப்பு ஒவ்வுமைத் தொகுப்பு (Consistent) என்றழைக்கப்படுகிறது.
• அவ்வாறின்றி அனைத்து சமன்பாடுகளையும் ஒருங்கே நிறைவு அடையுமாறு எந்த ஒரு தீர்வும் இல்லாமல் இருப்பின், இத்தொகுப்பு ஒவ்வாதத் தொகுப்பு (Inconsistent) என்றழைக்கப்படுகின்றது.

சமன்பாடு ax+by=c என்பதாவது ஒரு நேரியச் சமன்பாடு ஆகும். ஏனெனில், இச்சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிகளில் ஒரு படி மட்டுமே கொண்டவையாக இருக்கின்றன. மேலும், இம் மாறிகளின் பெருக்கற்பலன் இச்சமன்பாட்டில் இல்லை.^[4] அதாவது சமன்பாட்டின் உறுப்புகளின் படியானது அதிகபட்சம் ஒன்றாக உள்ளது

• பிரதியிடும் முறை
• நீக்கல் முறை
• குறுக்குப் பெருக்கல் முறை

பிரதியிடும் முறை என்பது ஒரு சமன்பாட்டிலுள்ள இரு மாறிகளில் ஒன்றை மற்றதின் சார்பாகக் கண்டறிந்து பின்னர் அதை அடுத்த சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டுத் தீர்க்கும் முறையாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

2x+5y=2 மற்றும் x+2y=3 சமன்பாடுகளைப் பிரதியிடும் முறையில் தீர்க்கும் வழிமுறைகளாவன:

2x+5y=2 (சமன்பாடு 1)

x+2y=3 (சமன்பாடு 2)

சமன்பாடு (2)-லிருந்து கிடைப்பது

X=3-2y (சமன்பாடு 3) ஆகும்.

x இன் மதிப்பை சமன்பாடு(1) இல் பிரதியிட,

2(3-2y)+5y=2

6-4y+5y=2

-4y+5y=2-6

ஃ y=-4.

y = -4 என்னும் மதிப்பை சமன்பாடு 3 இல் பிரதியிட,

x =3-2(-4)

=3+8=11

ஃ x =11 மற்றும் y = -4 ஆகும்.

இரண்டு மாறிகளில் ஒன்றை முதலில் நீக்கியபின் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கு தீர்வு காணும் முறை நீக்கல் முறை எனப்படும்.

இரு மாறிகளில் காணப்படும் பகுதி, தொகுதிகளை முறையே குறுக்குப் பெருக்கல் மூலம் தீர்க்கும் முறைக்குக் குறுக்குப் பெருக்கல் முறை என்று பெயர்.

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$என்னும் சமன்பாட்டிற்கு, n>2 எனும் போது நேர்ம முழு எண்களில் தீர்வு கிடையாது என்பதே பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் (Fermat's Last Theorem) ஆகும். இதுகுறித்து அவர், "உண்மையிலேயே மிகச் சிறந்த தேற்றத்தை நான் கண்டு பிடித்து விட்டாலும் அதை முழுமையாக விளக்கிட தாளில் போதிய இடமின்றி மிகக் குறைவான பகுதியே இருக்கிறது" என்றார். அதன்பின் சுமார் முந்நூறு ஆண்டுகளுக்குப்பின் கி.பி.1994-இல் ஆங்கிலேய கணிதவியல் அறிஞர் ஆன்ட்ரு வைல்ஸ் (Andrew Wiles) என்பார் இத்தேற்றத்திற்கு தீர்வு கண்டார்.^[5]

• Winplot பரணிடப்பட்டது 2009-08-16 at the வந்தவழி இயந்திரம்: General Purpose plotter which can draw and animate 2D and 3D mathematical equations.
• Mathematical equation plotter: Plots 2D mathematical equations, computes integrals, and finds solutions online.
• Equation plotter: A web page for producing and downloading pdf or postscript plots of the solution sets to equations and inequations in two variables (x and y).
• EqWorld—contains information on solutions to many different classes of mathematical equations.
• EquationSolver: A webpage that can solve single equations and linear equation systems.