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Projektion

[370] Projektion (»Entwurf«). In der elementaren Geometrie versteht man unter der senkrechten P eines Punktes A auf eine Gerade g (Fig. 1) den Fußpunkt A' des von A aus auf g gefällten Lotes. Eine geradlinige Strecke AB projiziert man senkrecht auf eine Gerade g, indem man die Projektionen A', B' ihrer Endpunkte A, B konstruiert, die geradlinige Strecke A'B' ist dann die senkrechte P. der Strecke ABauf die Gerade g. Ähnlich heißt der Fußpunkt A' des von dem Punkt A aus auf eine Ebene gefällten Lotes die senkrechte P. von A auf diese Ebene, und man spricht auch von der senkrechten P. einer geradlinigen Strecke oder einer von solchen Strecken gebildeten Figur auf eine Ebene.

Fig. 1.

In allgemeinerm Sinne versteht man unter P. die Darstellung (Abbildung) eines räumlichen Gegenstandes (des Objekts oder Originals) auf einer Fläche, der Projektions- oder Bildfläche. Die Ausdrücke P. und Darstellung werden dabei in doppeltem Sinne gebraucht und bezeichnen bald das zur Abbildung benutzte Verfahren (die Methode der Abbildung), bald das Bild, das man auf der Projektionsfläche erhält. Projektionen räumlicher Gegenstände kann man auf die mannigfaltigsten Arten herstellen, z. B. sind bei der Kartenprojektion, je nach dem besondern Zwecke, den man verfolgt, die verschiedensten Projektionsarten in Gebrauch (s. Landkarten, S. 109). Eines der wichtigsten Verfahren zur Abbildung räumlicher Gegenstände knüpft an den Vorgang beim Sehen an.

Fig. 2.

Man verbindet nämlich die Punkte (A, B,..., Fig. 2) des Objekts mit einem festen Punkt (O), in dem man sich das Auge denkt, durch gerade Linien (Projektionsstrahlen); die Punkte (A', B',...), in denen diese die Bildfläche (α) schneiden, sind die Projektionen der einzelnen Punkte des Objekts, und wenn man diese Projektionen durch Linien so verbindet, wie die Punkte am Objekt verbunden sind, und der Zeichnung die richtige Färbung gibt, so macht die Zeichnung auf ein in O befindliches Auge dieselbe Wirkung wie das Objekt selbst. Eine solche Darstellung heißt eine Zentralprojektion oder perspektivische Abbildung des Objekts, der Punkt O das Projektionszentrum. Ist die Bildfläche, wie wir fortan immer voraussetzen, eine Ebene, so gelten für diese P. folgende Regeln: 1) die P. eines Punktes des Objekts ist wieder ein Punkt; 2) die P. einer Geraden des Objekts ist wieder eine Gerade, die jedoch in einen Punkt zusammenschrumpft, wenn die projizierte Gerade durch das Projektionszentrum geht; 3) gerade Linien des Objekts, die zueinander parallel sind, projizieren sich im allgemeinen als Gerade, die nach einem bestimmten Punkte, dem Flucht- oder Verschwindungspunkt, gerichtet sind und, genügend verlängert, in diesem zusammentreffen; man findet diesen Fluchtpunkt, wenn man durch das Projektionszentrum eine zu den gegebenen Geraden parallele Gerade zieht und deren Schnittpunkt mit der Bildebene aufsucht.[370]

Insbesondere gehen die Projektionen aller Geraden, die auf der Bildebene senkrecht stehen, durch den sogen. Augenpunkt oder Hauptpunkt, den Fußpunkt des vom Zentrum auf die Bildebene gefällten Lotes, und für parallele Gerade, die zur Bildebene unter einem Winkel von 45° geneigt sind, liegt der Fluchtpunkt auf dem Umfang eines Kreises, des Distanzkreises, dessen Mittelpunkt der Hauptpunkt und dessen Halbmesser der Entfernung des Zentrums von der Bildebene gleich ist. Dagegen fällt der Fluchtpunkt solcher Geraden, die zueinander und zur Bildebene parallel sind, in unendliche Ferne; solche Gerade sind daher stets zu ihren Projektionen parallel. Perspektivische Abbildungen, die sich mit Benutzung dieser Sätze leicht herstellen lassen, geben eine anschauliche Vorstellung von den Gegenständen und eignen sich daher für künstlerische Zwecke; sie haben aber den Nachteil, daß man die Abmessungen und die Winkel des Originals nur sehr umständlich aus ihnen ersehen kann. Dieser Übelstand ist nicht vorhanden bei der Parallelprojektion, die man erhält, wenn man das Projektionszentrum in unendliche Ferne rückt, so daß die Projektionsstrahlen alle parallel werden. Die zwei ersten der obigen Regeln bleiben auch dann noch gültig; statt der dritten hat man aber die beiden Regeln: die Projektionen von parallelen Geraden sind stets wieder parallel, und das Verhältnis zwischen zwei Abschnitten, die auf einer Geraden oder auf zwei parallelen Geraden liegen, wird durch die Parallelprojektion nicht geändert. Man unterscheidet zwei Unterarten der Parallelprojektion: die schiefe (klinographische), bei der die Projektionsstrahlen einen schiefen Winkel mit der Bildebene einschließen, und die rechtwinklige (senkrechte, orthogonale, orthographische) Parallelprojektion, bei der die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Bildebene stehen. Als Beispiel der schiefen Parallelprojektion kann jeder durch die Sonnenstrahlen verursachte Schatten dienen; sie findet heutzutage nur noch selten Verwendung, während früher einzelne Arten derselben, wie die sogen. Militär- oder Kavalierperspektive (Neigungswinkel = 45°), zu besondern Zwecken benutzt wurden. Dagegen wird die rechtwinklige Parallelprojektion allgemein zur Darstellung von Maschinen, Bauwerken etc. verwendet.

Fig. 3.

Gewöhnlich projiziert man dabei die Objekte auf zwei Ebenen, eine wagerechte oder horizontale (α, Fig. 3) und eine lotrechte oder vertikale (β). Die Projektionen auf diese zwei Ebenen unterscheidet man als horizontale P. oder Grundriß und vertikale P. oder Aufriß; durch beide zusammengenommen ist das räumliche Objekt vollständig bestimmt. In Fig. 3 ist die P. einer geraden Linie PQ versinnlicht; PP' und QQ' sind die auf die horizontale Ebene α, PP'' und QQ'' die auf die vertikale Ebene β gefällten Lote, die von den Endpunkten der Geraden P Q ausgehen; P' und Q' sind die horizontalen, P'' und Q'' die vertikalen Projektionen von P und Q, P'Q' ist daher die horizontale, P''Q'' die vertikale P. von PQ. Legt man noch durch P und Q Ebenen, die auf der Schnittlinie der Projektionsebenen, auf dem sogen. Grundschnitt AB senkrecht stehen und ihn in M und N schneiden, so geben die in der horizontalen Ebene liegenden Geraden MP' und NQ' (beide senkrecht auf AB) die Abstände P''P und Q''Q der Punkte P und Q von der vertikalen Projektionsebene an, während MP'' und NQ'' (gleich P'P und Q'Q) die Höhen über der horizontalen Ebene angeben. Da man zwei senkrecht auseinander stehende Zeichenebenen nicht wirklich benutzen kann, so denkt man sich beide in eine einzige Ebene umgeklappt, so daß der Grundschnitt von links nach rechts läuft (Fig. 4) und die obere Hälfte der Zeichenebene sowohl die obere Hälfte der vertikalen als die hintere Hälfte der horizontalen Projektionsebene darstellt, während die untere Hälfte der Zeichenebene sowohl die untere Hälfte der vertikalen als die vordere Hälfte der horizontalen Projektionsebene darstellt. Bemerkt werden mag noch, daß die Länge der P. einer Linie, wie P'Q' oder P''Q'' (Fig. 4), gleich ist der Länge der Linie selbst, multipliziert mit dem Kosinus ihres Neigungswinkels gegen die Projektionsebene.

Fig. 4.

Die P. ist also im allgemeinen stets kürzer als die Gerade selbst; nur wenn diese mit der Bildebene parallel läuft, ist die P. ebenso lang. Aus Grund- und Aufriß lassen sich mit leichter Mühe alle Dimensionen und Winkel des dargestellten Objekts entnehmen, auch lassen sich bequem räumliche Konstruktionen durch solche in den Projektionsebenen ersetzen. Derartige Regeln waren schon seit langer Zeit bei Zimmerleuten und andern Handwerkern im Gebrauch; sie gesammelt, systematisch geordnet und zu einer neuen Wissenschaft, der darstellenden (deskriptiven) Geometrie, verarbeitet zu haben, ist das Verdienst von Gaspard Monge, dem übrigens Albrecht Dürer und besonders J. H. Lambert sehr wesentlich vorgearbeitet hatten. Häufig nimmt man zu den zwei betrachteten Projektionen noch eine dritte zu Hilfe, nämlich eine zweite vertikale P. auf eine zum Grundschnitt senkrechte Ebene (in Fig. 3 durch ihre Durchschnitte AC und AD mit α und β angedeutet); man bezeichnet diese P. als Querriß (Kreuzriß) oder Seitenansicht und kann sie aus Grund- und Aufriß entwickeln, wie in Fig. 5 angedeutet ist, wo man die Projektionsebene CAD um AD gedreht und auf C₁AD gelegt hat.

Fig. 5.

Die Einführung dieser dritten Projektionsebene ist unbedingt nötig, wenn es sich um die Konstruktion von Figuren handelt, die in einer zum Hauptschnitt senkrechten Ebene liegen; denn alle Geraden einer solchen Ebene werden im Grund- und Aufriß durch eine einzige zum Hauptschnitt senkrechte Gerade dargestellt und können daher, wenn man bloß zwei Projektionsebenen benutzt, nicht voneinander unterschieden werden. Die orthogonalen Projektionen auf zwei (oder auch drei) auseinander senkrechte Ebenen genügen indes zwar den Ansprüchen des Technikers in vorzüglichem Maße, gewähren aber kein anschauliches Bild; vielmehr muß man, wenn man Grund- und Aufriß eines Objekts vor sich hat, sich erst[371] aus diesen beiden im Geist ein Bild zusammenstellen. Allerdings zeigt eine jede orthogonale P. den Gegenstand so, wie er, aus großer (eigentlich unendlicher) Ferne betrachtet, erscheint. Beim Grundriß muß man sich dann das Auge weit über dem Objekt denken, ein ungewöhnlicher Standpunkt. Beim Aufriß aber, wo das Auge in weiter Ferne vor dem Objekt zu denken ist, hat zwar der Standpunkt nichts Ungewöhnliches; es werden aber in der Regel viele Linien etc. durch andre verdeckt, weil man zu bequemerer Herstellung der Zeichnung das Objekt gern so stellt, daß möglichst viele Flächen parallel zur vertikalen Ebene oder senkrecht auf ihr stehen. Diese Übelstände fallen weg, wenn man das Objekt auf eine schräg geneigte Fläche orthogonal projiziert; das Bild gewährt dann den Anblick, den das (in der Richtung der Projektionsstrahlen liegende) schräg von oben, aus weiter Ferne auf das Objekt blickende Auge hat. Solche Abbildungen liefert die Axonometrie (Parallelperspektive).

Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8.

Fig. 9.

Man versteht darunter das Verfahren, die senkrechte P. eines Objekts mittels der auf drei rechtwinklige Achsen bezogenen Koordinaten (s. d.) seiner Punkte zu bestimmen. Als Koordinatenebenen denken wir uns drei auseinander senkrechte Ebenen, eine horizontale und zwei vertikale, wie in Fig. 3 α, β und die Ebene CAD; ihre Durchschnitte AB, AC, AD heißen die Koordinatenachsen. Koordinaten eines Punktes sind seine senkrechten Entfernungen von den drei Ebenen; es sind also in Fig. 3AN = x, NQ' = y und Q'Q = z die drei Koordinaten des Punktes Q. Projiziert man nun diese räumliche Figur auf eine schräg liegende Ebene, so erscheinen die drei Achsen in der P. als drei von einem Punkt ausgehende Gerade, sie bilden das sogen. Achsenkreuz. Die Projektionen der Koordinaten werden diesen Achsen parallel, sind aber nach gewissen Verhältnissen verkürzt. Parallele Gerade erscheinen auch in der P. wieder parallel. Ist nun das Achsenkreuz gegeben, und kennt man die Verkürzungsverhältnisse in den Richtungen der drei Achsen, so findet man leicht die P. eines jeden durch seine Koordinaten gegebenen Punktes. Gesetzt, in Fig. 9 seien OX, OY, OZ die drei Achsen, und es sei bekannt, daß in deren Richtungen die Verkürzungen 0,887,0,493 und 0,985 stattfinden, so macht man OM = 0,887.x, MP' = 0,493.y und parallel zu OY, endlich P'P = 0,985.z parallel OZ und hat dann in P die Darstellung eines Punktes, dessen Koordinaten x, y, z sind. Das Achsenkreuz ist bekannt, wenn man die drei Verkürzungszahlen kennt; es genügt sogar, drei Zahlen (m, n und p) zu kennen, die sich verhalten wie die Verkürzungszahlen, denn diese selbst erhält man dann, wenn man die Zahlen m√2, n√2, p√2 mit √(m²+n²+p²) dividiert. Julius Weisbach, der Schöpfer der Axonometrie in diesem Sinne, nahm für m, n, p ganze Zahlen an. Die drei Linien des Achsenkreuzes findet man als Halbierungslinien der Winkel eines Dreiecks, dessen Seiten sich wie m², n², p² verhalten. Je nach der Beschaffenheit der Zahlen m, n, p sind drei Hauptfälle zu unterscheiden: 1) m = n = p = 1, die Darstellung heißt isometrisch, die drei Linien des Achsenkreuzes schließen Winkel von 120° ein (Fig. 6), die drei Koordinaten sind gleichmäßig im Verhältnis 1:0,8165 verkürzt. 2) Die Zahlen m und p sind gleich, n ist kleiner; die Darstellung heißt dimetrisch (monodimetrisch). Häufig vorkommende Beispiele sind m:n:p = 2:1:2 (Fig. 7) und m:n:p = 3:1:3 (Fig. 8); die wahren Verkürzungszahlen sind im ersten Falle für x und z:0,9428, für y:0,4714, im zweiten Falle für x und z:0,9733, für y:0,3244. 3) Alle drei Verkürzungszahlen sind verschieden, was eine trimetrische (anisometrische) Darstellung gibt. Ein gewöhnliches Beispiel ist m:n:p = 9:5:10 (Achsenkreuz nebst P. eines Würfels s. Fig. 9); die wahren Verkürzungsverhältnisse sind 0,8868, 0,4927 und 0,9853. – Statt die drei rechtwinkligen Achsen und Koordinaten rechtwinklig auf eine Ebene zu projizieren, kann man auch schiefe Parallelprojektion anwenden. Es ergibt sich dann, wie zuerst K. Pohlke gezeigt hat, daß zwischen den Winkeln des Achsenkreuzes und den Verkürzungszahlen gar kein Zusammenhang stattfindet; man kann also drei beliebig lange, von einem Punkt ausgehende Gerade stets als die Projektionen dreier in einer Ecke zusammenstoßender Kanten eines Würfels ansehen. Dies ist eine noch allgemeinere Auffassung der Axonometrie als die Weisbachsche. – Endlich ist noch eine in der eingangs gegebenen Erklärung nicht enthaltene P. zu erwähnen: die räumliche P. oder Reliefperspektive, bei der ein räumlicher Gegenstand wieder durch einen räumlichen Gegenstand, ein Modell, dargestellt wird. Jeder Punkt P des räumlichen Objekts wird nämlich mit einem festen Punkt O, dem Zentrum, verbunden, und auf der Verbindungslinie wird die P. von P so bestimmt, daß, wenn drei Punkte P, Q, R des Objekts in gerader Linie liegen, dies auch mit ihren Projektionen der Fall ist. Einer Geraden entspricht also als P. wieder eine Gerade, folglich einer Ebene wieder eine Ebene. Es zeigt sich ferner, daß es eine Ebene gibt, deren Punkte mit ihren Projektionen zusammenfallen (Hauptebene), und eine andre, der ersten parallele Ebene, deren Punkte die Projektionen der unendlich entfernten Punkte des Raumes sind (Flucht- oder Verschwindungsebene). Parallelen Geraden entsprechen als Projektionen Gerade, die sich in einem Punkte der Fluchtebene schneiden; nur wenn die Geraden der Fluchtebene parallel sind, ist dies auch mit ihren Projektionen der Fall. Sind die erwähnten beiden Ebenen und das Zentrum O gegeben, so kann man zu einem beliebigen Punkt P leicht die P. P' finden, indem man durch P eine beliebige Gerade g zieht, welche die Hauptebene in A schneidet, und durch O eine parallele Gerade h, welche die Fluchtebene in B trifft; dann schneiden sich OP und AB in P'. Auf diese Weise werden alle Punkte des unendlichen, hinter der Hauptebene gelegenen Raumes dargestellt innerhalb des Raumes zwischen Hauptebene und Fluchtebene; die P. eines räumlichen Objekts erscheint also um so mehr platt gedrückt (als Basrelief), je geringer der Abstand der beiden Ebenen ist.[372] Wenn dieser vollständig verschwindet, also beide Ebenen auseinander fallen, so geht das Modell oder Relief über in eine perspektivische Zeichnung. Rückt dagegen die Verschwindungsebene in unendliche Ferne, so wird das Modell dem Original ähnlich, und wenn zugleich das Zentrum in unendliche Ferne rückt, so wird das Modell dem Original ähnlich und gleich (kongruent). Die beiden letztern Fälle finden bei Statuen statt. Die Reliefperspektive, die zuerst von Desargues, Bosse (1668), Petitot (1758) und J. A. Breysig (1798) begründet worden ist, leistet für den Bildhauer das, was für den Maler die gewöhnliche Perspektive leistet. Sie hat jedoch den Nachteil, daß das Modell nur, von dem Zentrum O aus betrachtet, ein unverzerrtes Bild liefert. Die Reliefs (s. d.) der bildenden Kunst werden daher nach andern Grundsätzen hergestellt.

Da die hier besprochenen Darstellungsweisen den Inhalt der darstellenden Geometrie im heutigen Sinne des Wortes bilden, so kann im allgemeinen auf die Lehrbücher dieser Disziplin verwiesen werden (s. Geometrie); die Literatur über Perspektive s. d. Zur ersten Einführung in die Orthogonalprojektion kann Anger, Elemente der Projektionslehre (Danz. 1862) dienen, welches Werk auch die Reliefperspektive behandelt; für Axonometrie: Weisbach, Anleitung zum axonometrischen Zeichnen (Freiberg 1857); Staudigl, Die axonometrische und schiefe P. (Wien 1875, von der Weisbachschen verschiedene Auffassung) und Grundzüge der Reliefperspektive (das. 1868); Gebrüder K. Th. und M. H. Meyer, Lehrbuch der axonometrischen Projektionslehre (Leipz. 1855–63); für Reliefperspektive: Burm est er, Grundzüge der Reliefperspektive nebst Anwendung zur Herstellung reliefperspektivischer Modelle (das. 1883); für praktische Zwecke der Architekten und Handwerker: Kuglmayr, Die Projektionslehre (Wien 1891); Hoch, Katechismus der Projektionslehre (2. Aufl., Leipz. 1898); Stuhlmann, Zirkelzeichnen und Projektionslehre (23. Aufl., Dresd. 1904); auch die Werke über darstellende Geometrie von Wiener (Leipz. 1884–87, 2 Bde.), Rohn und Papperitz (2. Aufl., das. 1901–06, 2 Bde.), Gerland (das. 1899), Sturm (2. Aufl., das. 1900); Schüßler, Orthogonale Axonometrie (das. 1905).