Tribu (mathématiques)

Supposons qu'il existe une application ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})\to \mathbb {R} ^{+}}$ vérifiant les propriétés (1) à (4). On identifie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ à ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et notons ${\displaystyle \Omega }$ le disque unité de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ privé de ${\displaystyle 0}$.

${\displaystyle \Omega =\{u\in \mathbb {C} \,\mid \,0<\mid u\mid <1\}}$

Posons également ${\displaystyle T=\{\gamma \in \mathbb {C} \,\mid \,\mid \gamma \mid =1\}}$. Géométriquement, ${\displaystyle T}$ s'identifie au groupe des rotations de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C} }$ centrées en ${\displaystyle 0}$. Un nombre ${\displaystyle \gamma =e^{i\theta }\in T}$ s'identifie à la rotation ${\displaystyle r_{\gamma }}$ d'angle ${\displaystyle \theta }$. Pour ${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$, on écrira ${\displaystyle \gamma \cdot u}$ au lieu de ${\displaystyle r_{\gamma }(u)}$ et pour tout ensemble ${\displaystyle E\subset \Omega }$, on pose ${\displaystyle \gamma \cdot E=\{\gamma \cdot u\,\mid \,u\in E\}}$. Comme les rotations préservent les longueurs, ${\displaystyle \Omega }$ est stable par n'importe quelle rotation. Autrement dit, le groupe ${\displaystyle T}$ agit sur ${\displaystyle \Omega }$. Soit maintenant ${\displaystyle \Gamma \subset T}$ l'ensemble des "rotations rationnelles".

${\displaystyle \Gamma =\{e^{i\theta }\,\mid \,\theta \in 2\pi \mathbb {Q} \}}$

${\displaystyle \Gamma }$ est un sous-groupe de ${\displaystyle T}$, donc on définit une relation d'équivalence sur ${\displaystyle \Omega }$ telle que

${\displaystyle u\sim v\Longleftrightarrow \exists \gamma \in \Gamma ,\,\gamma \cdot u=v}$

On note ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation ${\displaystyle \sim }$.

Grâce à l'axiome du choix, il est possible de choisir un point ${\displaystyle u_{C}}$ dans chaque classe d'équivalence ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$. Si on pose ${\displaystyle E=\{u_{C}\,\mid \,C\in {\mathcal {C}}\}}$, alors ${\displaystyle E}$ rencontre chaque classe d'équivalence ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ en exactement un point (à savoir ${\displaystyle u_{C}}$). On en déduit que ${\displaystyle E}$ possède les propriétés suivantes :

(i) ${\displaystyle \bigcup \limits _{\gamma \in \Gamma }\gamma \cdot E=\Omega }$

(ii) Les ensembles ${\displaystyle \gamma \cdot E}$ sont deux à deux disjoints.

La propriété (i) est évidente puisque ${\displaystyle E}$ rencontre chaque classe d'équivalence. Pour (ii), supposons que ${\displaystyle (\gamma \cdot E)\cap (\gamma '\cdot E)\neq \emptyset }$ avec ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\in \Gamma }$. Soit ${\displaystyle u,u'\in E}$ tels que ${\displaystyle \gamma \cdot u=\gamma '\cdot u'}$. Alors ${\displaystyle u\sim u'}$ et donc ${\displaystyle u=u'}$ car ${\displaystyle E}$ rencontre chaque classe en au plus un point. Ainsi ${\displaystyle \gamma \cdot u=\gamma '\cdot u}$ et donc ${\displaystyle \gamma =\gamma '}$ car ${\displaystyle u\neq 0}$. Comme ${\displaystyle \Gamma }$ est dénombrable, on doit avoir par (i) et (ii) et (2)

${\displaystyle \mu (\Omega )=\sum _{\gamma \in \Gamma }\mu (\gamma \cdot E)}$

Mais par (3), on a aussi ${\displaystyle \mu (\gamma \cdot E)=\mu (E)}$ pour tout ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$. Comme ${\displaystyle \Gamma }$ est infini, on en déduit que la somme ${\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }\mu (\gamma \cdot E)}$ vaut ou bien ${\displaystyle 0}$ (si ${\displaystyle \mu (E)=0}$) ou bien ${\displaystyle +\infty }$ (si ${\displaystyle \mu (E)>0}$). Ainsi ${\displaystyle \mu (\Omega )\in \{0,+\infty \}}$. Pour conclure, on applique alors la proposition suivante :

D'après la proposition précédente, on a ${\displaystyle 0<\mu (\Omega )<+\infty }$, or on a montré que ${\displaystyle \mu (\Omega )\in \{0,+\infty \}}$, absurde. L'absurdité vient du fait qu'on a supposé l'existence de cette application.

Remarque : On pourrait rétorquer que la propriété d'additivité dénombrable (2) est trop forte, et qu'on pourrait se contenter d'exiger l'additivité finie (2') : ${\displaystyle {\Big (}\mu (\bigcup _{k=0}^{n}A_{k})=\sum _{k=0}^{n}A_{k}{\Big )}}$ pour voir si la contradiction disparaît. Dans ce cas, Banach a montré en utilisant l'axiome du choix qu'il est possible d'attribuer une aire à toutes les parties du plan de façon que (1), (2'), (3) et (4) soient vérifiées, mais Hausdorff a montré que ceci est impossible en dimension ${\displaystyle 3}$ : on ne peut pas attribuer un volume à toutes les parties de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ de sorte que la fonction volume soit finiment additive et invariante par rotations, et que le volume du cube unité soit fini et non nul. Le paradoxe de Banach-Tarski traite un résultat similaire^[9].

Assurons-nous que ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est non vide.

Puisqu'on a ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle f^{-1}(\emptyset )=\emptyset }$, on a alors ${\displaystyle \emptyset \in f^{-1}({\mathcal {B}})}$.

Vérifions que ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par passage au complémentaire.

Soit ${\displaystyle A\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$, par définition il existe ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ tel que ${\displaystyle A=f^{-1}(B)}$. Puisque ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une tribu, on a ${\displaystyle Y\backslash B\in {\mathcal {B}}}$ puis ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$. Puisqu'on a ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)=X\backslash f^{-1}(B)}$, alors ${\displaystyle X\backslash f^{-1}(B)\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$ et donc ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par passage au complémentaire.

On vérifie enfin que ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par réunion dénombrable.

Soit ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite d'éléments de ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$, par définition on a ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\exists B_{n}\in {\mathcal {B}},A_{n}=f^{-1}(B_{n})}$. Puisque ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est stable par réunion dénombrable, alors ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ puis ${\displaystyle f^{-1}(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n})\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$. Or, on a ${\displaystyle f^{-1}(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n})=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})}$, donc ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$ et donc ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par réunion dénombrable.

On note ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,\mid \,f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}\}}$.

On remarque qu'on a ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {P}}(Y)}$ avec ${\displaystyle f^{-1}(\emptyset )=\emptyset \in {\mathcal {A}}}$. Donc ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {B}}}$ et ainsi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est non vide.

Soit ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$, on a par définition ${\displaystyle f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}$, puis on a ${\displaystyle X\backslash f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}$ car ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est stable par passage au complémentaire. Or on a ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)=X\backslash f^{-1}(B)}$. Donc ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)\in {\mathcal {A}}}$ et par conséquent on a ${\displaystyle Y\backslash B\in {\mathcal {B}}}$. Donc ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est stable par passage au complémentaire.

Soit ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, on a ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,f^{-1}(B_{n})\in {\mathcal {A}}}$. Puisque ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est stable par réunion dénombrable, alors ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})\in {\mathcal {A}}}$. Or, on a ${\displaystyle f^{-1}(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n})=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})}$. Donc ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ et ainsi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est stable par réunion dénombrable.

On a ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})\subset f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))}$ car ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset \sigma _{Y}({\mathcal {F}})}$. De plus, ${\displaystyle f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))}$ est une tribu sur ${\displaystyle X}$ d'après la proposition précédente sur la tribu image réciproque. Puisque ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ est inclus dans cette tribu et que ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ est la plus petite tribu contenant ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$, alors on a ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))\subset f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))}$.

Réciproquement, posons ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,\mid \,f^{-1}(B)\in \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))\}}$. D'après la proposition précédente sur la tribu image, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une tribu sur ${\displaystyle Y}$. Soit ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$, on a ${\displaystyle f^{-1}(F)\in f^{-1}({\mathcal {F}})\subset \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ et donc par définition de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on a ${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}}$ i.e. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {B}}}$.

Puisque ${\displaystyle \sigma _{Y}({\mathcal {F}})}$ est la plus petite tribu contenant ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, on a ${\displaystyle \sigma _{Y}({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {B}}}$ puis ${\displaystyle f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))\subset f^{-1}({\mathcal {B}})=\{f^{-1}(B)\,\mid \,B\in {\mathcal {B}}\}\subset \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$

Si ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})\subset {\mathcal {A}}}$, on a directement ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})\subset f^{-1}({\mathcal {B}})\subset {\mathcal {A}}}$ puisque ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {B}}}$.

Réciproquement, puisque ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ est la plus petite tribu contenant ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$, on a ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))\subset {\mathcal {A}}}$. Or on sait que ${\displaystyle f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))=\sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ d'après le théorème précédent, donc ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))\subset {\mathcal {A}}}$.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$, l'injection canonique ${\displaystyle i:\left\{{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow &X\\x&\longmapsto &x\end{array}}\right.}$ vérifie pour tout ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle i^{-1}(F)=\{x\in E\,\mid \,i(x)\in F\}=\{x\in E\,\mid \,x\in F\}=E\cap F}$

Ainsi on a :

${\displaystyle i^{-1}({\mathcal {F}})=\{i^{-1}(F)\,\mid \,F\in {\mathcal {F}}\}=\{F\cap E\,\mid \,F\in {\mathcal {F}}\}={\mathcal {F}}_{E}}$

En reprenant l'injection canonique, on a ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{E}=i^{-1}({\mathcal {A}})}$, qui est une tribu d'après la proposition sur la tribu image réciproque.

Si ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$, alors ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\,A\cap E\in {\mathcal {A}}}$ car ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est stable par intersection dénombrable. De plus, puisque ${\displaystyle A\cap E\in {\mathcal {A}}}$ et ${\displaystyle A\cap E\subset E}$, on a ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{E}=\{A\cap E\,\mid \,A\in {\mathcal {A}}\}\subset \{B\in {\mathcal {A}}\,\mid \,B\subset E\}}$ Or, puisque pour tout ${\displaystyle C\in \{B\in {\mathcal {A}}\,\mid \,B\subset E\}}$, on peut écrire ${\displaystyle C=C\cap E}$, alors on a ${\displaystyle C\in \{A\cap E\,\mid \,A\in {\mathcal {A}}\}}$ et donc ${\displaystyle \{B\in {\mathcal {A}}\,\mid \,B\subset E\}\subset \{A\cap E\,\mid \,A\in {\mathcal {A}}\}={\mathcal {A}}_{E}}$

Supposons infinie la tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sur l'ensemble X. Comme tout élément de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est réunion d'atomes, les atomes sont eux aussi en nombre infini. Considérons alors ${\displaystyle \left(C(x_{i})\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ une suite d'atomes distincts (donc deux à deux disjoints).

Pour tous indices ${\displaystyle i\not =j}$, la définition de ${\displaystyle C(x_{i})}$ et le fait que ${\displaystyle x_{j}\not \in C(x_{i})}$, entraînent l'existence d'un ${\displaystyle A_{ij}\in {\mathcal {A}}}$ tel que :

${\displaystyle (1)\qquad x_{i}\in A_{ij}}$ mais ${\displaystyle x_{j}\not \in A_{ij}}$.

On définit alors une application ${\displaystyle \Phi \,\colon \,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\to {\mathcal {A}}}$ en posant, pour ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ :

${\displaystyle \Phi (I)=\bigcup _{i\in I}\bigcap _{j\not =i}A_{ij}}$.

En utilisant ${\displaystyle (1)}$, on vérifie que ${\displaystyle I=\{i\in \mathbb {N} \,\mid \,x_{i}\in \Phi (I)\}}$, on conclut que ${\displaystyle \Phi }$ est injective.

Notons ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ la partie infinie dénombrable de l'énoncé.

Les tribus infinies ont toutes au moins la puissance du continu. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ contenant l'ensemble infini ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, elle est infinie et son cardinal est donc supérieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, cardinal du continu.

Montrons l'inégalité inverse. Avec les notations de la section précédente, la classe ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ qui initialise l'induction est infinie dénombrable. On construit une réunion dénombrable de parties de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ à partir de chaque suite d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ (étant bien sûr entendu que de nombreuses suites fournissent la même réunion). Le cardinal de ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{0})_{\sigma }}$ est donc inférieur ou égal à celui de ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{0})^{\mathbb {N} }}$, qui est ${\displaystyle \aleph _{0}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$. Il en est de même avec les intersections et l'on conclut que le cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ est inférieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

En reprenant le même raisonnement, le cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ est à son tour inférieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$.

On montre alors par récurrence transfinie que pour tout α < ω₁ :

${\displaystyle \mathrm {card} \,{\mathcal {F}}_{\alpha }\leq {\mathfrak {c}}.}$

Quand α est un ordinal successeur c'est la même méthode que celle explicitée sur le passage de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ; quand α est un ordinal limite, il est par définition union dénombrable d'ensembles de cardinal inférieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, donc lui-même de cardinal inférieur ou égal à ${\displaystyle \aleph _{0}\,{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$.

Enfin, la tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est écrite comme une union d'ensembles qui sont tous de la forme ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$, en utilisant un ensemble d'indices de cardinal ${\displaystyle \aleph _{1}}$. On conclut que ${\displaystyle \mathrm {card} \,{\mathcal {A}}\leq \aleph _{1}\,{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$.