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- Le théorème de Zeckendorf, dénommé ainsi d'après le mathématicien belge Édouard Zeckendorf, est un théorème de théorie additive des nombres qui garantit que tout entier naturel peut être représenté, de manière unique, comme somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs. Cette représentation est appelée la représentation de Zeckendorf de . (fr)
- Le théorème de Zeckendorf, dénommé ainsi d'après le mathématicien belge Édouard Zeckendorf, est un théorème de théorie additive des nombres qui garantit que tout entier naturel peut être représenté, de manière unique, comme somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs. Cette représentation est appelée la représentation de Zeckendorf de . (fr)
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- G. M. Phillips (fr)
- G. M. Phillips (fr)
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- On raisonne par récurrence bien fondée sur l'entier naturel . D'après le lemme, dans une décomposition de , le plus grand indice pour lequel apparaît est entièrement déterminé par . Par hypothèse de récurrence, la décomposition de est également unique. (fr)
- ;Première démonstration
:On raisonne par récurrence simple sur le nombre d'éléments d'un tel ensemble . L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, si a plus d'un élément, enlevons . Par hypothèse de récurrence, la somme des éléments restants est strictement inférieure à , donc la somme totale est strictement inférieure à .
;Seconde démonstration
:Si avec . Alors :
:* si est pair :
:*::
:*:donc :
:*::
:* si est impair :
:*::
:*:donc :
:*::
:Donc, dans tous les cas, (fr)
- ;Première preuve
:On raisonne par récurrence bien fondée sur l'entier naturel . Si est nul, il est représenté par la somme vide. Sinon, soit , avec , le plus grand nombre de Fibonacci inférieur ou égal à et soit . Par hypothèse de récurrence, possède une représentation. Alors, pour tout nombre de cette représentation, donc . La représentation de , augmentée de , est donc bien une représentation de .
;Seconde preuve
:On raisonne par récurrence sur l'entier n considéré. L'existence est facilement vérifiable pour les petites valeurs de n. Supposons qu'elle soit vraie pour un entier n donné et décomposons cet entier en rangeant les nombres de Fibonacci par ordre croissant. Plusieurs cas sont à considérer :
:* Si avec et , alors :
:*:
:* Si avec et . Alors :
:*:
:* Si avec et . Alors :
:*:
:Ainsi, admet aussi une décomposition. (fr)
- On raisonne par récurrence bien fondée sur l'entier naturel . D'après le lemme, dans une décomposition de , le plus grand indice pour lequel apparaît est entièrement déterminé par . Par hypothèse de récurrence, la décomposition de est également unique. (fr)
- ;Première démonstration
:On raisonne par récurrence simple sur le nombre d'éléments d'un tel ensemble . L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, si a plus d'un élément, enlevons . Par hypothèse de récurrence, la somme des éléments restants est strictement inférieure à , donc la somme totale est strictement inférieure à .
;Seconde démonstration
:Si avec . Alors :
:* si est pair :
:*::
:*:donc :
:*::
:* si est impair :
:*::
:*:donc :
:*::
:Donc, dans tous les cas, (fr)
- ;Première preuve
:On raisonne par récurrence bien fondée sur l'entier naturel . Si est nul, il est représenté par la somme vide. Sinon, soit , avec , le plus grand nombre de Fibonacci inférieur ou égal à et soit . Par hypothèse de récurrence, possède une représentation. Alors, pour tout nombre de cette représentation, donc . La représentation de , augmentée de , est donc bien une représentation de .
;Seconde preuve
:On raisonne par récurrence sur l'entier n considéré. L'existence est facilement vérifiable pour les petites valeurs de n. Supposons qu'elle soit vraie pour un entier n donné et décomposons cet entier en rangeant les nombres de Fibonacci par ordre croissant. Plusieurs cas sont à considérer :
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:* Si avec et . Alors :
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:Ainsi, admet aussi une décomposition. (fr)
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- Z/z120020 (fr)
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- ZeckendorfRepresentation (fr)
- ZeckendorfsTheorem (fr)
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- ZeckendorfsTheorem (fr)
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| prop-fr:titre
|
- Preuve de l'unicité (fr)
- Deux démonstrations du lemme (fr)
- Deux preuves de l'existence (fr)
- Zeckendorf Representation (fr)
- Zeckendorf representation (fr)
- Zeckendorf's Theorem (fr)
- Preuve de l'unicité (fr)
- Deux démonstrations du lemme (fr)
- Deux preuves de l'existence (fr)
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- Le théorème de Zeckendorf, dénommé ainsi d'après le mathématicien belge Édouard Zeckendorf, est un théorème de théorie additive des nombres qui garantit que tout entier naturel peut être représenté, de manière unique, comme somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs. Cette représentation est appelée la représentation de Zeckendorf de . (fr)
- Le théorème de Zeckendorf, dénommé ainsi d'après le mathématicien belge Édouard Zeckendorf, est un théorème de théorie additive des nombres qui garantit que tout entier naturel peut être représenté, de manière unique, comme somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs. Cette représentation est appelée la représentation de Zeckendorf de . (fr)
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- Satz von Zeckendorf (de)
- Stelling van Zeckendorf (nl)
- Teorema di Zeckendorf (it)
- Théorème de Zeckendorf (fr)
- Zeckendorf's theorem (en)
- Теорема Цекендорфа (uk)
- ゼッケンドルフの定理 (ja)
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