| dbo:abstract
|
- Eine singuläre Funktion ist eine spezielle reelle Funktion in der Maßtheorie. Singuläre Funktionen zeichnen sich durch scheinbar widersprüchliche Eigenschaften aus. So sind sie stetig und fast überall konstant, aber gleichzeitig wachsend. Das Wachstum findet also auf einer Menge des Volumens null statt. Singuläre Funktionen treten beispielsweise bei der Lebesgue-Zerlegung von Funktionen auf oder als Verteilungsfunktionen von stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen. (de)
- In mathematics, a real-valued function f on the interval [a, b] is said to be singular if it has the following properties:
* f is continuous on [a, b]. (**)
* there exists a set N of measure 0 such that for all x outside of N the derivative f ′(x) exists and is zero, that is, the derivative of f vanishes almost everywhere.
* f is non-constant on [a, b]. A standard example of a singular function is the Cantor function, which is sometimes called the devil's staircase (a term also used for singular functions in general). There are, however, other functions that have been given that name. One is defined in terms of the circle map. If f(x) = 0 for all x ≤ a and f(x) = 1 for all x ≥ b, then the function can be taken to represent a cumulative distribution function for a random variable which is neither a discrete random variable (since the probability is zero for each point) nor an absolutely continuous random variable (since the probability density is zero everywhere it exists). Singular functions occur, for instance, as sequences of spatially modulated phases or structures in solids and magnets, described in a prototypical fashion by the Frenkel–Kontorova model and by the ANNNI model, as well as in some dynamical systems. Most famously, perhaps, they lie at the center of the fractional quantum Hall effect. (en)
- Funkcja osobliwa (określana również jako Diabelskie schody) – dowolna funkcja ƒ(x), określona dla przedziału [a, b], posiadająca następujące właściwości:
* ƒ(x) jest ciągła na [a, b].
* istnieje taki zbiór N o mierze 0, że dla każdego x spoza N pochodna ƒ ′(x) istnieje i jest równa zeru, tzn. pochodna f zanika niemal wszędzie. (czyli jest prawie wszędzie różniczkowalna i jej pochodna jest równa 0)
* ƒ(x) nie maleje na [a, b].
* ƒ(a) < ƒ(b). Klasycznym przykładem funkcji osobliwej jest funkcja Cantora, nazywana czasami diabelskimi schodami. Istnieją jednak również inne funkcje tak nazywane. Jedna z nich jest określona przez odwzorowanie koliste. Jeśli ƒ(x) = 0 dla wszystkich x ≤ a oraz ƒ(x) = 1 dla wszystkich x ≥ b, to można założyć, że dana funkcja przedstawia dystrybuantę dla zmiennej losowej, która ani nie jest (gdyż prawdopodobieństwo wynosi zero w każdym punkcie) ani absolutnie ciągłą zmienną losową (gdyż gęstość prawdopodobieństwa jest zerowa wszędzie, gdzie jest określona). Funkcje osobliwe występują przykładowo w strukturach w roztworach i magnesach, opisywanych przez model i Kontorowa oraz , jak również w niektórych układach dynamicznych. Być może najpowszechniejszym przykładem są funkcje leżące u podstaw fraktalnego kwantowego efektu Halla. (pl)
- Сингуля́рна фу́нкція — це неперервна функція, похідна якої дорівнює нулю майже всюди. Історично першим прикладом сингулярної функції є драбина Кантора. Існують інші приклади сингулярних функцій. Наприклад, функція Салема і функція Мінковського, множина точок зростання яких заповнює повністю відрізок . Сингулярна функція зустрічається, наприклад, під час вивчення послідовності просторово модифікованих фаз або структур у твердих тілах і магнетиках, описуваних у моделі Френкеля — Конторової. (uk)
- Сингуля́рная фу́нкция — это непрерывная функция, производная которой равна нулю почти всюду. Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница. Существуют другие примеры сингулярных функций. Например, и функция Минковского, множество точек роста которых заполняет полностью отрезок . Сингулярная функция встречается, к примеру, при изучении последовательности пространственно модифицированных фаз или структур в твёрдых телах и магнетиках, описываемых в модели Френкеля — Конторовой. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Eine singuläre Funktion ist eine spezielle reelle Funktion in der Maßtheorie. Singuläre Funktionen zeichnen sich durch scheinbar widersprüchliche Eigenschaften aus. So sind sie stetig und fast überall konstant, aber gleichzeitig wachsend. Das Wachstum findet also auf einer Menge des Volumens null statt. Singuläre Funktionen treten beispielsweise bei der Lebesgue-Zerlegung von Funktionen auf oder als Verteilungsfunktionen von stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen. (de)
- Сингуля́рна фу́нкція — це неперервна функція, похідна якої дорівнює нулю майже всюди. Історично першим прикладом сингулярної функції є драбина Кантора. Існують інші приклади сингулярних функцій. Наприклад, функція Салема і функція Мінковського, множина точок зростання яких заповнює повністю відрізок . Сингулярна функція зустрічається, наприклад, під час вивчення послідовності просторово модифікованих фаз або структур у твердих тілах і магнетиках, описуваних у моделі Френкеля — Конторової. (uk)
- Сингуля́рная фу́нкция — это непрерывная функция, производная которой равна нулю почти всюду. Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница. Существуют другие примеры сингулярных функций. Например, и функция Минковского, множество точек роста которых заполняет полностью отрезок . Сингулярная функция встречается, к примеру, при изучении последовательности пространственно модифицированных фаз или структур в твёрдых телах и магнетиках, описываемых в модели Френкеля — Конторовой. (ru)
- In mathematics, a real-valued function f on the interval [a, b] is said to be singular if it has the following properties:
* f is continuous on [a, b]. (**)
* there exists a set N of measure 0 such that for all x outside of N the derivative f ′(x) exists and is zero, that is, the derivative of f vanishes almost everywhere.
* f is non-constant on [a, b]. (en)
- Funkcja osobliwa (określana również jako Diabelskie schody) – dowolna funkcja ƒ(x), określona dla przedziału [a, b], posiadająca następujące właściwości:
* ƒ(x) jest ciągła na [a, b].
* istnieje taki zbiór N o mierze 0, że dla każdego x spoza N pochodna ƒ ′(x) istnieje i jest równa zeru, tzn. pochodna f zanika niemal wszędzie. (czyli jest prawie wszędzie różniczkowalna i jej pochodna jest równa 0)
* ƒ(x) nie maleje na [a, b].
* ƒ(a) < ƒ(b). (pl)
|