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- In the mathematical field of differential geometry, a smooth map between Riemannian manifolds is called harmonic if its coordinate representatives satisfy a certain nonlinear partial differential equation. This partial differential equation for a mapping also arises as the Euler-Lagrange equation of a functional called the Dirichlet energy. As such, the theory of harmonic maps contains both the theory of unit-speed geodesics in Riemannian geometry and the theory of harmonic functions. Informally, the Dirichlet energy of a mapping f from a Riemannian manifold M to a Riemannian manifold N can be thought of as the total amount that f stretches M in allocating each of its elements to a point of N. For instance, an unstretched rubber band and a smooth stone can both be naturally viewed as Riemannian manifolds. Any way of stretching the rubber band over the stone can be viewed as a mapping between these manifolds, and the total tension involved is represented by the Dirichlet energy. Harmonicity of such a mapping means that, given any hypothetical way of physically deforming the given stretch, the tension (when considered as a function of time) has first derivative equal to zero when the deformation begins. The theory of harmonic maps was initiated in 1964 by James Eells and Joseph Sampson, who showed that in certain geometric contexts, arbitrary maps could be deformed into harmonic maps. Their work was the inspiration for Richard Hamilton's initial work on the Ricci flow. Harmonic maps and the associated harmonic map heat flow, in and of themselves, are among the most widely studied topics in the field of geometric analysis. The discovery of the "bubbling" of sequences of harmonic maps, due to Jonathan Sacks and Karen Uhlenbeck, has been particularly influential, as their analysis has been adapted to many other geometric contexts. Notably, Uhlenbeck's parallel discovery of bubbling of Yang–Mills fields is important in Simon Donaldson's work on four-dimensional manifolds, and Mikhael Gromov's later discovery of bubbling of pseudoholomorphic curves is significant in applications to symplectic geometry and quantum cohomology. The techniques used by Richard Schoen and Uhlenbeck to study the regularity theory of harmonic maps have likewise been the inspiration for the development of many analytic methods in geometric analysis. (en)
- En géométrie différentielle, une application régulière définie d'une variété riemannienne dans une autre est dite harmonique lorsqu'elle est solution d'une certaine équation aux dérivées partielles généralisant l'équation de Laplace. L'équation des applications harmoniques est en général introduite pour résoudre un problème variationnel ; il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange associée à la recherche des points critiques de l'énergie de Dirichlet des applications entre les deux variétés. Par suite, la recherche des applications harmoniques englobe à la fois celle des géodésiques et celle des fonctions numériques qui sont harmoniques sur un ouvert de l'espace euclidien. On peut concevoir de façon informelle l'énergie de Dirichlet de l'application Φ comme une mesure de l'étirement (au sens de la tension superficielle) qu'il faut imprimer pour amener les points de M à leur position dans N. Ainsi, étirer une bande de caoutchouc pour la placer sur un galet lisse peut servir d'expérience de pensée pour modéliser l'application des points de la bande au repos vers sa position finale, et son énergie. Une caractéristique de la position finale de la bande, et qui est l'expression du caractère harmonique de l'application, est qu'il s'agit d'une position d'équilibre : au premier ordre, pour toute déformation physique de la bande qu'on peut concevoir, la dérivée de l'énergie est nulle à l'instant initial. Les initiateurs de la théorie des fonctions harmoniques, James Eells et Joseph H. Sampson, ont montré en 1964 que, dans un contexte géométrique adéquat, une application régulière quelconque, pouvait être déformée par homotopie en une application harmonique. Les applications harmoniques l'étude du flot de la chaleur, par elles-mêmes et à titre d'inspiration, font partie des sujets les plus étudiés dans le domaine de l'analyse géométrique. Le travail de Eells et Sampson a notamment servi d'inspiration première à Richard S. Hamilton dans ses recherches sur le flot de Ricci, qui ont conduit à la preuve de la conjecture de Poincaré. La découverte du phénomène des « bulles » dans les suites de fonctions harmoniques, et l'introduction de méthodes pour les contrôler, par Jonathan Sacks et Karen Uhlenbeck, a revêtu une influence particulière, car des situations analogues ont été reconnues dans de nombreux autres contextes géométriques. Ainsi, la découverte concomitante par Uhlenbeck d'un phénomène de bulles pour les champs de Yang–Mills a joué un rôle important dans les travaux de Simon Donaldson sur les , et de même la découverte ultérieure par Mikhail Gromov de bulles pour les courbes pseudoholomorphes s'est révélé riche de conséquences en géométrie symplectique et en . De même, les techniques employées par Richard Schoen et Uhlenbeck pour étudier la régularité des applications harmoniques ont servi d'inspiration au développement de méthodes d'analyse nouvelle en analyse géométrique. (fr)
- Pemetaan (halus) φ:M→N antara manifold Riemannian M dan N disebut harmonik jika ia adalah dari E(φ). Fungsional E ini akan didefinisikan secara bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa M dibuat dari karet dan N dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka ), dan bahwasannya pemetaan φ:M→N menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: E(φ) kemudian mewakili jumlah total yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain. Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun 1964 oleh dan . (in)
- 數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射，如果這個映射是泛函 的一個臨界點。 試想像M是橡膠做的，N是大理石做的，形狀由其度量決定，而映射φ:M→N給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡膠的張力產生的彈性位能。用這個比喻，φ稱為調和映射，如果把橡膠「鬆開」，但仍限制要處處與大理石接觸時，那麼橡膠已經在平衡的位置，所以不會「縮回」到另一個形狀。 從完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射，這個結果是)證出。 (zh)
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- Sacks (en)
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- Corlette (en)
- Uhlenbeck (en)
- Gromov (en)
- Struwe (en)
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- p.6 (en)
- Theorem B (en)
- Corollary 10.12 (en)
- Definition 1.1 (en)
- Definition 10.1 (en)
- Definition 10.2 (en)
- Definition 10.3 (en)
- Lemma 10.11 (en)
- Proposition 10.2 (en)
- Section 11A (en)
- Section 8A (en)
- p.10 (en)
- p.135 (en)
- p.157-161 (en)
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- Formula 5.1.18 (en)
- Lemma 5.3.3 (en)
- Proposition 1.6.2 (en)
- Theorem 5.1.2 (en)
- p.3 (en)
- p.4 (en)
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- p.490-491 (en)
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- 數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射，如果這個映射是泛函 的一個臨界點。 試想像M是橡膠做的，N是大理石做的，形狀由其度量決定，而映射φ:M→N給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡膠的張力產生的彈性位能。用這個比喻，φ稱為調和映射，如果把橡膠「鬆開」，但仍限制要處處與大理石接觸時，那麼橡膠已經在平衡的位置，所以不會「縮回」到另一個形狀。 從完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射，這個結果是)證出。 (zh)
- In the mathematical field of differential geometry, a smooth map between Riemannian manifolds is called harmonic if its coordinate representatives satisfy a certain nonlinear partial differential equation. This partial differential equation for a mapping also arises as the Euler-Lagrange equation of a functional called the Dirichlet energy. As such, the theory of harmonic maps contains both the theory of unit-speed geodesics in Riemannian geometry and the theory of harmonic functions. (en)
- Pemetaan (halus) φ:M→N antara manifold Riemannian M dan N disebut harmonik jika ia adalah dari E(φ). Fungsional E ini akan didefinisikan secara bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa M dibuat dari karet dan N dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka ), dan bahwasannya pemetaan φ:M→N menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: E(φ) kemudian mewakili jumlah total yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain. (in)
- En géométrie différentielle, une application régulière définie d'une variété riemannienne dans une autre est dite harmonique lorsqu'elle est solution d'une certaine équation aux dérivées partielles généralisant l'équation de Laplace. L'équation des applications harmoniques est en général introduite pour résoudre un problème variationnel ; il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange associée à la recherche des points critiques de l'énergie de Dirichlet des applications entre les deux variétés. Par suite, la recherche des applications harmoniques englobe à la fois celle des géodésiques et celle des fonctions numériques qui sont harmoniques sur un ouvert de l'espace euclidien. (fr)
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- Application harmonique (fr)
- Pemetaan harmonik (in)
- Harmonic map (en)
- 調和映射 (zh)
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