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- في الرياضيات، الزاوية الزائدية هي شكل هندسي يحدد القطاع الزائدي. إن علاقة الزاوية الزائدية بالقطع الزائد تشبه علاقة الزاوية "العادية" بالدائرة. مقدار الزاوية الزائدية هو مساحة القطاع المقابل للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1. هذا القطع الزائد مستطيل مع نصف محوره الرئيسي يساوي ، مشابه لمقدار زاوية دائرية التي تمثل مساحة قطاع دائري في دائرة نصف قطرها . تُستخدم الزاوية الزائدية كمتغير مستقل بالنسبة للدوال الزائدية sinh و cosh و tanh ، لأن هذه الدوال يمكن أن تستند إلى تشابهات زائدية للدوال المثلثية الدائرية المقابلة من خلال اعتبار الزاوية الزائدية على أنها تحدد مثلثًا زائديًا. وبالتالي تصبح الوسيط واحد من أكثر الوسائط فائدة في حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات الحقيقية. (ar)
- En matemáticas, un ángulo hiperbólico es una figura geométrica que divide a la hipérbola. Las relaciones del ángulo hiperbólico se asemejan a la relación que existe entre un ángulo ordinario y un círculo. El ángulo hiperbólico es definido para una "posición estándar", y se lo asocia con la medida de un intervalo de una rama de una hipérbola. Un ángulo hiperbólico en posición estándar es el ángulo en (0, 0) entre el rayo hasta (1, 1) y el rayo hasta (x, 1/x) donde x > 1. La magnitud del ángulo hiperbólico es el área del sector hiperbólico correspondiente que vale ln x. Notar que a diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no se encuentra acotado, tal como sucede con la función ln x, una característica relacionada con la naturaleza no acotada de las series armónicas.El ángulo hiperbólico en posición estándar es considerado negativo cuando 0 < x < 1. Supóngase que ab = 1 y cd = 1 con c > a > 1 de forma tal que (a, b) y (c, d) determinan un intervalo sobre la hipérbola xy = 1. Entonces el mapeo de compresión con elementos diagonales b y a mapea este intervalo al ángulo hiperbólico en posición estándar que va desde (1, 1) a (bc, ad). De acuerdo a la relación descubierta por Gregoire de Saint-Vincent, el sector hiperbólico determinado por (a, b) y (c, d) tiene la misma área que este ángulo en posición estándar, y la magnitud del ángulo hiperbólico corresponde con esta área. Las funciones hiperbólicas sinh, cosh, y tanh utilizan el ángulo hiperbólico como su variable independiente porque sus valores pueden ser planteados mediante analogías con las funciones trigonométricas circulares cuando el ángulo hiperbólico define un triángulo hiperbólico.Por lo tanto este parámetro es sumamente útil en el cálculo de una variable real. (es)
- In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi-major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius . Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle.The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables. (en)
- De hyperboolhoek beschrijft de verdraaiing tussen twee lijnen in het twee-dimensionale vlak met behulp van een hyperbool. Deze hoek speelt een grote rol in de oorspronkelijke beschrijving van hyperbolische functies. Wanneer twee lijnen elkaar snijden in de oorsprong is de hyperboolhoek tussen die lijnen tweemaal de oppervlakte begrensd door de lijnen en de hyperbool . Standaard wordt de hyperboolhoek gerekend vanaf de positieve x-as. Wanneer een lijn hyperboolhoek x maakt met de positieve x-as, dan snijdt die lijn de hyperbool in het punt (cosh(x),sinh(x)). (nl)
- Um ângulo hiperbólico na posição padrão é o ângulo a (0, 0) entre o raio a (1, 1) e o raio a (x, 1/x) onde x > 1. A magnitude do ângulo hiperbólico é a área do setor hiperbólico correspondente, que é igual a ln x. (pt)
- 雙曲角是指在笛卡儿坐标平面上，由原點出發的兩條射線與標準雙曲線相交處及之間的角。這個雙曲角的量級是等於這個雙曲線扇形的面積，相等於。在日常生活中，雙曲角較少有應用之處，一般只用於工程或數學運算中。 與圓角不同的是：雙曲角的範圍並沒有界限；這是因為雙曲角的值與自然對數相關，而這亦與調和級數的本質相關。當雙曲角的值介乎，即為負值。 雙曲函數等採用雙曲角作為自變量，因為採用雙曲角作為自變量，在三角函數作類比的前提下，所有現有的三角函數都可以套用在雙曲函數裡。這亦使微積分的計算簡化，因為可以使用實數作為變量。 (zh)
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- De hyperboolhoek beschrijft de verdraaiing tussen twee lijnen in het twee-dimensionale vlak met behulp van een hyperbool. Deze hoek speelt een grote rol in de oorspronkelijke beschrijving van hyperbolische functies. Wanneer twee lijnen elkaar snijden in de oorsprong is de hyperboolhoek tussen die lijnen tweemaal de oppervlakte begrensd door de lijnen en de hyperbool . Standaard wordt de hyperboolhoek gerekend vanaf de positieve x-as. Wanneer een lijn hyperboolhoek x maakt met de positieve x-as, dan snijdt die lijn de hyperbool in het punt (cosh(x),sinh(x)). (nl)
- Um ângulo hiperbólico na posição padrão é o ângulo a (0, 0) entre o raio a (1, 1) e o raio a (x, 1/x) onde x > 1. A magnitude do ângulo hiperbólico é a área do setor hiperbólico correspondente, que é igual a ln x. (pt)
- 雙曲角是指在笛卡儿坐标平面上，由原點出發的兩條射線與標準雙曲線相交處及之間的角。這個雙曲角的量級是等於這個雙曲線扇形的面積，相等於。在日常生活中，雙曲角較少有應用之處，一般只用於工程或數學運算中。 與圓角不同的是：雙曲角的範圍並沒有界限；這是因為雙曲角的值與自然對數相關，而這亦與調和級數的本質相關。當雙曲角的值介乎，即為負值。 雙曲函數等採用雙曲角作為自變量，因為採用雙曲角作為自變量，在三角函數作類比的前提下，所有現有的三角函數都可以套用在雙曲函數裡。這亦使微積分的計算簡化，因為可以使用實數作為變量。 (zh)
- في الرياضيات، الزاوية الزائدية هي شكل هندسي يحدد القطاع الزائدي. إن علاقة الزاوية الزائدية بالقطع الزائد تشبه علاقة الزاوية "العادية" بالدائرة. مقدار الزاوية الزائدية هو مساحة القطاع المقابل للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1. هذا القطع الزائد مستطيل مع نصف محوره الرئيسي يساوي ، مشابه لمقدار زاوية دائرية التي تمثل مساحة قطاع دائري في دائرة نصف قطرها . (ar)
- In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi-major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius . (en)
- En matemáticas, un ángulo hiperbólico es una figura geométrica que divide a la hipérbola. Las relaciones del ángulo hiperbólico se asemejan a la relación que existe entre un ángulo ordinario y un círculo. El ángulo hiperbólico es definido para una "posición estándar", y se lo asocia con la medida de un intervalo de una rama de una hipérbola. Un ángulo hiperbólico en posición estándar es el ángulo en (0, 0) entre el rayo hasta (1, 1) y el rayo hasta (x, 1/x) donde x > 1. La magnitud del ángulo hiperbólico es el área del sector hiperbólico correspondiente que vale ln x. (es)
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