| dbo:abstract
|
- Eine Grothendieck-Topologie ist ein mathematisches Konzept, das es erlaubt,in einem abstrakten kategoriellen Rahmen eine Garbentheorie und eine Kohomologietheorie zu entwickeln. Eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist, nennt man einen Situs. Auf einem Situs kann eine Garbe erklärt werden. Das Konzept der Grothendieck-Topologie wurde um 1960 von Alexander Grothendieck entwickelt, um in der algebraischen Geometrie in positiver Charakteristik einen Ersatz für die topologischen Kohomologietheorien wie bspw. die singuläre Kohomologie zu haben. Die Motivation hierfür kam von den Vermutungen von André Weil, die einen engen Zusammenhang zwischen der topologischen Gestalt (etwa den Bettizahlen) einer Varietät und der Anzahl der Punkte auf ihr über einem endlichen Körper voraussagte (Weil-Vermutungen). Die in diesem Kontext eingeführte zusammen mit der und der ermöglichte schließlich den Beweis der Weil-Vermutungen durch Pierre Deligne. (de)
- In category theory, a branch of mathematics, a Grothendieck topology is a structure on a category C that makes the objects of C act like the open sets of a topological space. A category together with a choice of Grothendieck topology is called a site. Grothendieck topologies axiomatize the notion of an open cover. Using the notion of covering provided by a Grothendieck topology, it becomes possible to define sheaves on a category and their cohomology. This was first done in algebraic geometry and algebraic number theory by Alexander Grothendieck to define the étale cohomology of a scheme. It has been used to define other cohomology theories since then, such as ℓ-adic cohomology, flat cohomology, and crystalline cohomology. While Grothendieck topologies are most often used to define cohomology theories, they have found other applications as well, such as to John Tate's theory of rigid analytic geometry. There is a natural way to associate a site to an ordinary topological space, and Grothendieck's theory is loosely regarded as a generalization of classical topology. Under meager point-set hypotheses, namely sobriety, this is completely accurate—it is possible to recover a sober space from its associated site. However simple examples such as the indiscrete topological space show that not all topological spaces can be expressed using Grothendieck topologies. Conversely, there are Grothendieck topologies that do not come from topological spaces. The term "Grothendieck topology" has changed in meaning. In it meant what is now called a Grothendieck pretopology, and some authors still use this old meaning. modified the definition to use sieves rather than covers. Much of the time this does not make much difference, as each Grothendieck pretopology determines a unique Grothendieck topology, though quite different pretopologies can give the same topology. (en)
- En teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una topología de Grothendieck es una estructura definida en una categoría arbitraria C que permita la definición de haces en C, y con esa la definición de las teorías generales de cohomología. Una categoría junto con una topología de Grothendieck en ella se llama un sitio. Esta herramienta se utiliza en teoría algebraica de números y geometría algebraica, para definir principalmente la de esquemas, pero también para la y el . Observe que una topología de Grothendieck no es una topología en el sentido clásico. (es)
- En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une topologie de Grothendieck est une structure sur une catégorie permettant de voir certains objets de comme les ensembles ouverts d'un espace topologique. Une catégorie munie d'une topologie de Grothendieck est appelée un site. Une topologie de Grothendieck axiomatise la notion de recouvrement d'un espace topologique par des ouverts. Cela permet de généraliser la définition de faisceaux, et leur cohomologie, à un site quelconque. Historiquement, la notion fut dégagée par Alexandre Grothendieck pour définir la cohomologie étale des schémas, à l'aide du site étale. Elle a ensuite été utilisée pour définir d'autres théories cohomologiques, telles que la (en), la (en) et la cohomologie cristalline. Les topologies de Grothendieck servent aussi à définir les (en) de John Tate. La catégorie des faisceaux (d'ensembles) sur un site donne lieu à un topos de Grothendieck. Plusieurs sites différents peuvent définir des topos isomorphes. (fr)
- グロタンディーク位相（英: Grothendieck topology）とは位相空間上の開集合系が成り立つ性質を公理化し、圏の上に定義された一般化された位相のことである。またそのような位相を持つ圏をサイト（仏、英: site）といい、その位相を用いることにより位相空間上での層の理論が使えてコホモロジー理論を得ることができる。歴史的には代数幾何学のヴェイユ予想を解決するためにアレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に導入された。 (ja)
- 대수기하학과 범주론에서 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, 영어: Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, 영어: site)로 일반화할 수 있다. 그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다. (ko)
- Inom matematiken är en plats en kategoriteoretisk generalisering av ett topologiskt rum. I stället för att som för topologiska rum axiomatisera begreppet öppen mängd axiomatiserar man begreppet övertäckning. Begreppet är centralt i högre algebraisk geometri, till exempel vid konstruktionen av . Inom geografin representeras en plats av ett "geografiskt avgränsat område" eller av punkter i ett rum, men även som "ett rum som människan fyllt med meningar och betydelser". En plats är, i fysisk eller symbolisk mening, lokaliserad i rummet (se rum). (sv)
- Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом. Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия, благодаря чему становится возможным определение пучков на категории и их когомологий, что впервые осуществлено Александром Гротендиком для схем. Существует естественный способ сопоставить топологическому пространству топологию Гротендика, в этом смысле она может быть рассмотрена как обобщение обычных топологий. При этом для большого класса топологических пространств возможно восстановить топологию по её топологии Гротендика, однако уже для антидискретного пространства это не так. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- En teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una topología de Grothendieck es una estructura definida en una categoría arbitraria C que permita la definición de haces en C, y con esa la definición de las teorías generales de cohomología. Una categoría junto con una topología de Grothendieck en ella se llama un sitio. Esta herramienta se utiliza en teoría algebraica de números y geometría algebraica, para definir principalmente la de esquemas, pero también para la y el . Observe que una topología de Grothendieck no es una topología en el sentido clásico. (es)
- グロタンディーク位相（英: Grothendieck topology）とは位相空間上の開集合系が成り立つ性質を公理化し、圏の上に定義された一般化された位相のことである。またそのような位相を持つ圏をサイト（仏、英: site）といい、その位相を用いることにより位相空間上での層の理論が使えてコホモロジー理論を得ることができる。歴史的には代数幾何学のヴェイユ予想を解決するためにアレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に導入された。 (ja)
- 대수기하학과 범주론에서 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, 영어: Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, 영어: site)로 일반화할 수 있다. 그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다. (ko)
- Inom matematiken är en plats en kategoriteoretisk generalisering av ett topologiskt rum. I stället för att som för topologiska rum axiomatisera begreppet öppen mängd axiomatiserar man begreppet övertäckning. Begreppet är centralt i högre algebraisk geometri, till exempel vid konstruktionen av . Inom geografin representeras en plats av ett "geografiskt avgränsat område" eller av punkter i ett rum, men även som "ett rum som människan fyllt med meningar och betydelser". En plats är, i fysisk eller symbolisk mening, lokaliserad i rummet (se rum). (sv)
- Eine Grothendieck-Topologie ist ein mathematisches Konzept, das es erlaubt,in einem abstrakten kategoriellen Rahmen eine Garbentheorie und eine Kohomologietheorie zu entwickeln. Eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist, nennt man einen Situs. Auf einem Situs kann eine Garbe erklärt werden. Das Konzept der Grothendieck-Topologie wurde um 1960 von Alexander Grothendieck entwickelt, um in der algebraischen Geometrie in positiver Charakteristik einen Ersatz für die topologischen Kohomologietheorien wie bspw. die singuläre Kohomologie zu haben. Die Motivation hierfür kam von den Vermutungen von André Weil, die einen engen Zusammenhang zwischen der topologischen Gestalt (etwa den Bettizahlen) einer Varietät und der Anzahl der Punkte auf ihr über einem endlichen Körper vora (de)
- In category theory, a branch of mathematics, a Grothendieck topology is a structure on a category C that makes the objects of C act like the open sets of a topological space. A category together with a choice of Grothendieck topology is called a site. (en)
- En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une topologie de Grothendieck est une structure sur une catégorie permettant de voir certains objets de comme les ensembles ouverts d'un espace topologique. Une catégorie munie d'une topologie de Grothendieck est appelée un site. Une topologie de Grothendieck axiomatise la notion de recouvrement d'un espace topologique par des ouverts. Cela permet de généraliser la définition de faisceaux, et leur cohomologie, à un site quelconque. (fr)
- Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом. Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия, благодаря чему становится возможным определение пучков на категории и их когомологий, что впервые осуществлено Александром Гротендиком для схем. (ru)
|