| dbo:abstract
|
- Ein Gradientenfeld oder konservatives Feld ist ein Vektorfeld, das aus einem Skalarfeld durch Differentiation nach dem Ort abgeleitet wurde, bzw. – kürzer formuliert – der Gradient des Skalarfelds. Dieses Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass sein Kurvenintegral wegunabhängig ist. Weil die Rotation des Feldes immer Null ist, wird es manchmal auch als wirbelfreies Feld bezeichnet. Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, auch als Gradientvektoren, andere dagegen mit Blick auf die Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren. Analog verwendet die überwiegende Zahl der Autoren den Begriff Potentialfeld nicht für das skalare Feld des Potentials selbst, sondern das sich aus ihm ableitende Gradientenfeld. (de)
- In vector calculus, a conservative vector field is a vector field that is the gradient of some function. A conservative vector field has the property that its line integral is path independent; the choice of any path between two points does not change the value of the line integral. Path independence of the line integral is equivalent to the vector field under the line integral being conservative. A conservative vector field is also irrotational; in three dimensions, this means that it has vanishing curl. An irrotational vector field is necessarily conservative provided that the domain is simply connected. Conservative vector fields appear naturally in mechanics: They are vector fields representing forces of physical systems in which energy is conserved. For a conservative system, the work done in moving along a path in a configuration space depends on only the endpoints of the path, so it is possible to define potential energy that is independent of the actual path taken. (en)
- Un champ de vecteurs est dit à circulation conservative (ou irrotationnel) si sa circulation sur toute courbe fermée est nulle (son rotationnel est alors nul, et réciproquement). Sous certaines conditions relatives au domaine de définition et à la régularité du champ, on peut dériver le potentiel de ce champ, fonction scalaire qui en permet une représentation alternative. De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif si son flux sur toute surface fermée est nul (sa divergence est alors nulle, et réciproquement). Le champ magnétique est un exemple de champ à flux conservatif. (fr)
- Een conservatief vectorveld, ook exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt (de "helling") is van een scalair veld (een functie op een meerdimensionale ruimte), in deze context de (scalaire) potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal van een punt naar een punt onafhankelijk is van het gekozen pad van naar . (nl)
- 보존벡터장(保存vector場)은 스칼라장의 그래디언트로 나타낼 수 있는 벡터장이다. 즉, 모든 점에서 회전이 영벡터인 벡터장이다. 예를 들어, 중력장은 보존벡터장이다. 중력은 보존력이고 보존력은 보존벡터장을 이루기 때문이다. (ko)
- Nel calcolo vettoriale, un campo vettoriale conservativo è un campo vettoriale caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare. Un campo conservativo è un campo irrotazionale definito in un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il lemma di Poincaré. Un campo irrotazionale è un campo che ha rotore nullo. Un campo conservativo è sempre irrotazionale, mentre non è sempre vero il viceversa. (it)
- Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат. Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным — если рассматриваемая область пространства не является односвязной, то скалярный потенциал может быть многозначной функцией. В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при мгновенном перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. Этот контур не обязан быть траекторией частицы, движущейся под действием только данных сил. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по мгновенному перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации. В некоторых источниках потенциальным полем сил считается только поле с потенциалом, не зависящим от времени. Это связано с тем, что потенциал для сил, зависящий от времени, вообще говоря, не является потенциальной энергией тела, движущегося под действием этих сил. Поскольку силы совершают работу не одномоментно, работа сил над телом будет зависеть от его траектории и от скорости прохождения по ней. В этих условиях сама потенциальная энергия не определена, так как по определению должна зависеть только от положения тела, но не от пути. Тем не менее, и для этого случая потенциал для сил может существовать, и может входить в уравнения движения так же, как и потенциальная энергия для тех случаев, когда она существует. Пусть — потенциальное векторное поле; оно выражается через потенциал как (или в другой записи ). Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как , то есть для сил потенциалом является . Когда U не зависит от времени, оно является потенциальной энергией, и тогда знак «-» возникает просто по определению. В противном случае знак сохраняется ради единообразия. Для поля выполняется свойство независимости интеграла от пути : , Это равносильно . Интеграл по замкнутому контуру обращается в 0, поскольку начальная и конечная точка совпадают. И наоборот, предыдущую формулу можно вывести из этой, если разбить замкнутый контур на два незамкнутых. Необходимое условие записывается как (или в другой записи ). На языке дифференциальных форм потенциальное поле — это точная 1-форма — то есть форма, которая является (внешним) дифференциалом 0-формы (функции). Градиенту соответствует взятие внешнего дифференциала от 0-формы (потенциала), ротору соответствует взятие внешнего дифференциала от 1-формы (поля). Необходимое условие следует из того, что второй внешний дифференциал всегда равен нулю: . Интегральные формулы следуют из (обобщённой) теоремы Стокса. (ru)
- Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Campos conservativos têm a propriedade de sua integral de linha apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha. Exemplos de campos conservativos são a gravidade e um campo elétrico fora da ação de campos magnéticos. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos. Campos vetoriais conservativos aparecem naturalmente na mecânica: são campos vetoriais que representam as forças de sistemas físicos onde a energia é conservada. Nesses sistemas, o trabalho realizado para mover uma partícula no espaço depende apenas dos pontos final e inicial. Em outras palavras, é possível definir uma energia potencial que seja independente do caminho utilizado. (pt)
- Ett konservativt fält, virvelfritt fält eller potentialfält är inom vektoranalysen ett vektorfält vars rotation är definierad och lika med noll. Konservativa fält har en potentialfunktion, vars gradient är lika med det konservativa fältet. En annan viktig egenskap är att alla kurvintegraler över ett sådant fält är oberoende av vägen, dvs. integralens värde beror endast på start- och slutpunkt. Speciellt är alla slutna kurvintegraler lika med noll. Om F är ett konservativt fält med potentialfunktion V så kan kurvintegralen från en punkt a till en annan punkt b enkelt beräknas enligt: Exempel på fysikaliska fält som med god approximation kan sägas vara konservativa, är tyngdkraftsfält och elektriska fält. Fält som inte är konservativa kallas för dissipativa. (sv)
- 如果一个向量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守向量场（英語：conservative vector field）。有两个密切相关的概念：路径无关和无旋向量场。任何一个保守向量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无关的性质。 (zh)
- Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля. У фізиці, що має справу з силовими полями, математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за означенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації. Нехай у -вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат і потенціальне векторне поле з коваріантними координатами , яке представляється градієнтом скалярного потенціалу : Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля: (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Un champ de vecteurs est dit à circulation conservative (ou irrotationnel) si sa circulation sur toute courbe fermée est nulle (son rotationnel est alors nul, et réciproquement). Sous certaines conditions relatives au domaine de définition et à la régularité du champ, on peut dériver le potentiel de ce champ, fonction scalaire qui en permet une représentation alternative. De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif si son flux sur toute surface fermée est nul (sa divergence est alors nulle, et réciproquement). Le champ magnétique est un exemple de champ à flux conservatif. (fr)
- Een conservatief vectorveld, ook exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt (de "helling") is van een scalair veld (een functie op een meerdimensionale ruimte), in deze context de (scalaire) potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal van een punt naar een punt onafhankelijk is van het gekozen pad van naar . (nl)
- 보존벡터장(保存vector場)은 스칼라장의 그래디언트로 나타낼 수 있는 벡터장이다. 즉, 모든 점에서 회전이 영벡터인 벡터장이다. 예를 들어, 중력장은 보존벡터장이다. 중력은 보존력이고 보존력은 보존벡터장을 이루기 때문이다. (ko)
- Nel calcolo vettoriale, un campo vettoriale conservativo è un campo vettoriale caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare. Un campo conservativo è un campo irrotazionale definito in un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il lemma di Poincaré. Un campo irrotazionale è un campo che ha rotore nullo. Un campo conservativo è sempre irrotazionale, mentre non è sempre vero il viceversa. (it)
- 如果一个向量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守向量场（英語：conservative vector field）。有两个密切相关的概念：路径无关和无旋向量场。任何一个保守向量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无关的性质。 (zh)
- Ein Gradientenfeld oder konservatives Feld ist ein Vektorfeld, das aus einem Skalarfeld durch Differentiation nach dem Ort abgeleitet wurde, bzw. – kürzer formuliert – der Gradient des Skalarfelds. Dieses Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass sein Kurvenintegral wegunabhängig ist. Weil die Rotation des Feldes immer Null ist, wird es manchmal auch als wirbelfreies Feld bezeichnet. Analog verwendet die überwiegende Zahl der Autoren den Begriff Potentialfeld nicht für das skalare Feld des Potentials selbst, sondern das sich aus ihm ableitende Gradientenfeld. (de)
- In vector calculus, a conservative vector field is a vector field that is the gradient of some function. A conservative vector field has the property that its line integral is path independent; the choice of any path between two points does not change the value of the line integral. Path independence of the line integral is equivalent to the vector field under the line integral being conservative. A conservative vector field is also irrotational; in three dimensions, this means that it has vanishing curl. An irrotational vector field is necessarily conservative provided that the domain is simply connected. (en)
- Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Campos conservativos têm a propriedade de sua integral de linha apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha. Exemplos de campos conservativos são a gravidade e um campo elétrico fora da ação de campos magnéticos. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos. (pt)
- Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат. Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным — если рассматриваемая область пространства не является односвязной, то скалярный потенциал может быть многозначной функцией. Пусть — потенциальное векторное поле; оно выражается через потенциал как (или в другой записи ). Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как , (ru)
- Ett konservativt fält, virvelfritt fält eller potentialfält är inom vektoranalysen ett vektorfält vars rotation är definierad och lika med noll. Konservativa fält har en potentialfunktion, vars gradient är lika med det konservativa fältet. En annan viktig egenskap är att alla kurvintegraler över ett sådant fält är oberoende av vägen, dvs. integralens värde beror endast på start- och slutpunkt. Speciellt är alla slutna kurvintegraler lika med noll. Om F är ett konservativt fält med potentialfunktion V så kan kurvintegralen från en punkt a till en annan punkt b enkelt beräknas enligt: (sv)
- Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля. Нехай у -вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат і потенціальне векторне поле з коваріантними координатами , яке представляється градієнтом скалярного потенціалу : Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля: (uk)
|