Haarmått

Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Låt ${\displaystyle (G,\circ )}$ vara en grupp.

Om ${\displaystyle A\subset G}$ och ${\displaystyle g\in G}$ kallas mängden

${\displaystyle gA=g\circ A:=\{g\circ a:a\in A\}}$

för vänstertranslationen för A och mängden

${\displaystyle Ag=A\circ g:=\{a\circ g:a\in A\}}$

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ i ${\displaystyle G\,}$ är vänstertranslationsinvariant om

för alla ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ och ${\displaystyle g\in G\,}$ är ${\displaystyle gA\in {\mathcal {F}}}$,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}$ vänstertranslationsinvariant om

för alla ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ och ${\displaystyle g\in G\,}$ är ${\displaystyle \mu (gA)=\mu (A)\,}$ ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

Låt ${\displaystyle (G,\circ )}$ vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

• paret ${\displaystyle (G,\circ )}$ är en grupp,
• rummet ${\displaystyle G\,}$ är ett lokalt kompakt topologiskt rum
• avbildningen ${\displaystyle G\times G\to G:(g,h)\mapsto g\circ h}$ är kontinuerlig (i produkttopologin) och
• avbildningen ${\displaystyle G\to G:g\mapsto g^{-1}}$ är kontinuerlig.

Då är Borelmängderna ${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,G}$ en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

${\displaystyle \mu _{v}:{\mbox{Bor}}\,G\rightarrow [0,\infty ]}$

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

${\displaystyle \mu _{h}:{\mbox{Bor}}\,G\rightarrow [0,\infty ]}$

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet ${\displaystyle \mu \,}$ i ${\displaystyle G\,}$ är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns ${\displaystyle c\geq 0}$ så att ${\displaystyle \mu =c\mu _{v}\,}$, likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper ${\displaystyle G\,}$ där ${\displaystyle \mu _{v}\neq \mu _{h}\,}$, men om

${\displaystyle \mu _{v}=\mu _{h}\,}$

i ${\displaystyle G\,}$ kallar vi måttet

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{G}:=\mu _{v}=\mu _{h}}$

för Haarmåttet.

• Givet ett höger-Haarmått ${\displaystyle \mu }$ kan ett möjligen nytt höger-Haarmått ${\displaystyle \nu }$ skapas genom att definiera

${\displaystyle \nu (S)=\mu (g^{-1}S)\,}$

där ${\displaystyle g}$ är ett element i den överliggande gruppen ${\displaystyle G}$ och ${\displaystyle S}$ är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal ${\displaystyle \Delta (g)}$ sådant att

${\displaystyle \nu (S)=\mu (g^{-1}S)=\Delta (g)\mu (S).}$

Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element ${\displaystyle g}$ i gruppen så kan ${\displaystyle \Delta }$ ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått ${\displaystyle \mu }$ och ${\displaystyle \nu }$ så finns det en konstant ${\displaystyle k}$ så att ${\displaystyle \nu =k\mu }$. Detta ger

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=k\mu (g^{-1}S)=k\Delta (g)\mu (S)=\Delta (g)\nu (S).}$

• Om gruppen ${\displaystyle G\,}$ är en abelsk grupp så är ${\displaystyle \mu _{v}=\mu _{h}\,}$.

• Rummet ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}$ är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs

för alla ${\displaystyle A\in {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\,}$ gäller att ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{n}(x+A)={\mathcal {L}}^{n}(A)={\mathcal {L}}^{n}(A+x)\,}$.

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{\mathbb {R} ^{n}}={\mathcal {L}}^{n}}$.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Andra viktiga exempel för Haarmåttet är vridningsinvariant mått i ortogonalgruppen, dvs

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{O(n)}=\theta _{n}}$.

• Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.