[go: up one dir, main page]

Hoppa till innehållet

Cosinussatsen

Från Wikipedia

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Då gäller att[1]

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis med Pythagoras sats

[redigera | redigera wikitext]

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

Enligt figuren är

vilket om det insätts i uttrycket för ger

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

Bevis med avståndsformeln

[redigera | redigera wikitext]

En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med

Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som

och slutligen

  1. ^ Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te. Nacka: Esselte Studium. sid. 56. ISBN 91-24-27604-9