Qarku (matematikë)

Në koordinatat karteziane, qarku i hapur i qendrës ${\displaystyle (a,b)}$  dhe rrezja R jepet me formulën: ^[1]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$ 

ndërsa qarku i mbyllur i së njëjtës qendër dhe rreze jepet nga:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$ 

Sipërfaqja e një qarku të mbyllur ose të hapur me rreze R është ${\displaystyle \pi R^{2}}$  . ^[3]

 

Një shpërndarje uniforme në një qark rrethor njësi haset herë pas here në statistikë. Më së shpeshti ndodh në kërkimet operacionale në matematikën e planifikimit urban, ku mund të përdoret për të modeluar një popullsi brenda një qyteti. Përdorime të tjera mund të përdorin faktin se është një shpërndarje për të cilën është e lehtë të llogaritet probabiliteti që një grup i caktuar inekuacionesh lineare do të plotësohet.

Nëse na jepet një vendndodhje arbitrare në një distancë ${\displaystyle q}$  nga qendra e diskut, është gjithashtu me interes të përcaktojmë largësinë mesatare ${\displaystyle b(q)}$  nga pikat në shpërndarje në këtë vendndodhje dhe katrorin mesatar të largësive të tilla. Vlera e fundit mund të llogaritet drejtpërdrejt si ${\displaystyle q^{2}+{\frac {1}{2}}}$ 

 

Për të gjetur ${\displaystyle b(q)}$  duhet të shikojmë veçmas rastet në të cilat vendndodhja është e brendshme ose e jashtme, dmth në të cilat q ≶ 1, dhe gjejmë se në të dyja rastet rezultati mund të shprehet vetëm në terma të integraleve të plota eliptike .

Nëse marrim parasysh një vendndodhje të brendshme, qëllimi ynë (duke parë diagramin) është të llogarisim vlerën e pritur të ${\displaystyle r}$  nën një shpërndarje, dendësia e së cilës është ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}$  për ${\displaystyle 0\leq r\leq s(\theta )}$ , duke integruar në koordinata polare në vendndodhjen fikse për të cilën sipërfaqja e qelizës është ${\displaystyle rdrd\theta }$  kështu

$${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$ 

Këtu ${\displaystyle s(\theta )}$  mund të gjendet në termat e q dhe θ duke përdorur Ligjin e kosinuseve . Hapat e nevojshëm për të vlerësuar integralin, së bashku me disa referenca, do të gjenden në punimin e Lew et al.; ^[4] rezultati është se$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ ku K dhe E janë integrale të plota eliptike të llojit të parë dhe të dytë. ^[5] ${\displaystyle b(0)={\frac {2}{3}}}$  ; ${\displaystyle b(1)={\frac {32}{9\pi }}\approx 1.13177}$ 

 

Duke u kthyer në një vendndodhje të jashtme, ne mund të vendosim integralin në një mënyrë të ngjashme, këtë herë duke marrë$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$ ku ligji i kosinusit na tregon se ${\displaystyle s_{+}(\theta )}$  dhe ${\displaystyle s_{-}(\theta )}$  janë rrënjët për s tek ekuacioni:$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$ Prandaj$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$ Mund të zëvendësojmë ${\displaystyle u=q\sin \theta }$  për të marrë$${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$ duke përdorur integrale standarde. ^[6]

Prandaj përsëri ${\displaystyle b(1)={\frac {32}{9\pi }}}$ $${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$ 

1. ^ ^{a b} Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, fq. 138, ISBN 9780199679591 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!). Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "odm" defined multiple times with different content
2. ^ Arnold, B. H. (2013), Intuitive Concepts in Elementary Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, fq. 58, ISBN 9780486275765 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).
3. ^ Rotman, Joseph J. (2013), Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, fq. 44, ISBN 9780486151687 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).
4. ^ J. S. Lew et al., "On the Average Distances in a Circular Disc" (1977).
5. ^ Abramowitz and Stegun, 17.3.
6. ^ Gradshteyn and Ryzhik 3.155.7 and 3.169.9, taking due account of the difference in notation from Abramowitz and Stegun. (Compare A&S 17.3.11 with G&R 8.113.) This article follows A&S's notation.