Formulat e Cramerit

Formulat e Cramerit japin zgjidhjet e sistemit të ekuacioneve lineare kur numri i të panjohurave është i barabarte me numrin e ekuacioneve.

Këto formula i ka zbuluar matematikani zviceran Gabriel Cramer (1704-1752).

Për sistemin prej dy dhe tre ekuacioneve lineare me dy respektivisht tre të panjohura ato janë :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}\right.\ }$

i cili në forme të matricës shkruhet si më poshtë

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}$

Atëherë të panjohurat, x dhe y gjinden sipas rregullit të Cramerit

${\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

dhe

${\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}$

për sistemin me tre të panjohura kemi

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}\right.}$

me matrica

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

vlerat e x, y dhe z janë :

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}$

${\displaystyle x={\frac {D_{x}}{D}},\quad y={\frac {D_{y}}{D}},\quad z={\frac {D_{z}}{D}},}$

ku

${\displaystyle x,y}$ dhe ${\displaystyle z}$ janë tri të panjohurat e sistemit (rrënjët/zgjidhja e sistemit), ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ dhe ${\displaystyle D_{z}}$ përcaktorët karakteristikë të sistemit dhe ${\displaystyle D}$ - përcaktori kryesor i sistemit.