Vzporednost

V običajni evklidski geometriji velja aksiom o vzporednici, ki pravi, da skozi poljubno točko T poteka točno ena vzporednica k dani premici p. V evklidski geometriji ima vzporednost naslednje značilnosti:

• refleksivnost: vsaka premica je sebi vzporedna:

p || p

• simetričnost: če je p vzporedna q, potem je tudi q vzporedna p:

p || q ${\displaystyle \Rightarrow }$  q || p

• tranzitivnost: če je p vzporedna q, ta pa je vzporedna r, potem je tudi p vzporedna r:

p || q ${\displaystyle \wedge }$  q || r ${\displaystyle \Rightarrow }$  p || r

To pomeni, da je vzporednost premic ekvivalenčna relacija, ki deli množico vseh premic na ekvivalenčne razrede - skupine premic, ki imajo isto smer. V projektivni geometriji rečemo, da se te premice sekajo v neskončnosti - vsak snop vzporednih premic določa svojo točko v neskončnosti.

Nadaljnje značilnosti vzporednic p in q (v običajni evklidski geometriji):

• Vse točke s premice p so enako oddaljene od premice q (in obratno).
• Če se vzporednici sekata s tretjo premico, potem ta seka obe vzporednici pod istim kotom.
• Skozi poljubno točko (na eni od premic) poteka skupna pravokotnica na p in q.

Če se vzporedni premici v kartezični ravnini zapišeta z enačbama ${\displaystyle p:~y=k_{1}x+n_{1}}$  in ${\displaystyle q:~y=k_{2}x+n_{2}}$ , potem sta smerna koeficienta premic enaka: ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$ .

Glavni članek: neevklidska geometrija.

Spremenjeni aksiom o vzporednosti je temelj neevklidskih geometrij - geometrijskih sistemov, v katerih veljajo nekoliko drugačne značilnosti kot v običajni evklidski geometriji.

V geometriji Lobačevskega poteka skozi dano točko T več kot ena vzporednica k dani premici p.

V Riemannovi geometriji pa vzporednic sploh ni - skozi točko T, torej ne poteka nobena vzporednica k dani premici p.

• pravokotnost
• kolinearnost