Skalarni produkt

Skalarni produkt vektorjev ${\displaystyle \mathbf {a} =\left[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right]}$  in ${\displaystyle \mathbf {b} =\left[b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right]}$  je definiran kot:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\!\,,}$ 

kjer ${\displaystyle \Sigma }$  pomeni vsoto in ${\displaystyle n}$  razsežnost vektorskega prostora.

V dvorazsežnem prostoru je tako produkt vektorjev ${\displaystyle \left[a,b\right]}$  in ${\displaystyle \left[c,d\right]}$  enak ${\displaystyle ac+bd}$ .

Podobno je v trirazsežnem prostoru produkt vektorjev ${\displaystyle [a,b,c]}$  in ${\displaystyle [d,e,f]}$  enak ${\displaystyle ad+be+cf}$ .

Zgled:${\displaystyle [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=1\times 4+3\times (-2)+(-5)\times (-1)=4-6+5=3.}$ 

Skalarni produkt je komutativen.

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$ 

Skalarni produkt je distributiven.

${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}}){\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$ 

Velja homogenost:

${\displaystyle n({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=(n{\vec {a}}){\vec {b}}={\vec {a}}(n{\vec {b}})}$ 

Asociativnost za skalarni produkt ne velja.

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})}$ 

Skalarni produkt vektorja s samim sabo je enak kvadratu dolžine vektorja, saj je vmesni kot v tem primeru enak 0° (cos 0° = 1):

${\displaystyle {\vec {a}}{\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}\!\,.}$ 

Skalarni produkt medsebojno pravokotnih vektorjev je enak 0, saj je kosinus vmesnega kota enak nič (cos 90° = 0):

${\displaystyle {\vec {a}}\bot {\vec {b}}\iff {\vec {a}}{\vec {b}}=0\!\,.}$ 

Izraz skalarni produkt se rabi tudi v širšem smislu besede.

Posplošeni skalarni produkt (ali skalarni produkt v širšem smislu besede) je računska operacija, ki ima iste osnovne značilnosti kot običajni skalarni produkt. Takšna operacija se imenuje tudi notranji produkt.

Naj je vektorski prostor V nad komutativnim obsegom F (v praksi je F običajno množica realnih ali pa množica kompleksnih števil).

Notranji produkt je preslikava, ki dvema vektorjema iz V priredi element obsega F. Rezultat se označi kot ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$  ali (x,y) ali kar preprosto x y.

Za notranji produkt morajo veljati naslednje značilnosti (za poljubne vektorje x,y in z ter za poljubna a in b iz obsega F):

• konjugirana simetrija:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$ 

Opomba: Če je F obseg realnih števil, to pomeni preprosto simetričnost ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$ , v kompleksnem pa je treba upoštevati še konjugiranje.

• Linearnost (v prvem faktorju):

${\displaystyle \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle \!\,,}$ 

${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \!\,.}$ 

• Pozitivna definitnost:

${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$  za vsak x, različen od 0.

Če se upošteva definicijske značilnosti, se vidi, da velja tudi:

• Linearnost v drugem faktorju (s konjugiranjem, če je b kompleksno število):

${\displaystyle \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle \!\,,}$ 

${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \!\,,}$ 

• ${\displaystyle \langle 0,0\rangle =0\!\,.}$ 

Glavni članek: evklidski prostor.

S pomočjo notranjega produkta se lahko v vektorski prostor V uvede mero za merjenje dolžin in kotov. Tako opremljen vektorski prostor se imenuje evklidski prostor.

Dolžino vektorja x se definira kot:

${\displaystyle ||x||={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\!\,.}$ 

Razdaljo med vektorjema x in y se definira kot:

${\displaystyle d(x,y)=||x-y||\!\,.}$ 

Kot med vektorjema x in y pa se definira kot:

${\displaystyle <\!\!\!)\,(x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{||x||~||y||}}\!\,.}$