Vytvárajúca funkcia

Vytvárajúca funkcia alebo generujúca funkcia je v matematike formálny mocninový rad o jednej premennej, ktorého koeficienty obsahujú informáciu o danej postupnosti čísel. Formálnosť mocninového radu znamená, že sa s ním narába ako s čisto algebraickým objektom a neštudujú sa jeho analytické vlastnosti ako napríklad polomer konvergencie a pod.^[1] Metóda vytvárajúcich funkcií býva často považovaná za najsilnejšiu metódu manipulácie s číselnými postupnosťami. ^[2]

Súvis medzi operáciami na postupnostiach a operáciami na ich vytvárajúcich funkciách sa využíva predovšetkým na riešenie rekurentných vzťahov, čo má dôležité aplikácie pri enumerácii diskrétnych štruktúr.^[3] Myšlienka použitia formálnych mocninových radov na riešenie rekurentných vzťahov siaha k Abrahamovi de Moivrovi, ktorý túto metódu použil na zistenie uzavretého tvaru pre Fibonacciho čísla.^[4]

Podľa spôsobu konštrukcie formálneho mocninového radu k danej postupnosti je možné rozlíšiť viacero typov vytvárajúcich funkcií. Medzi najznámejšie patria obyčajné vytvárajúce funkcie, exponenciálne vytvárajúce funkcie, Poissonove vytvárajúce funkcie, Lambertove vytvárajúce funkcie a Dirichletove vytvárajúce funkcie. Teóriu je možné z postupností rozšíriť aj na viacrozmerné štruktúry, v takom prípade nie je vytvárajúca funkcia formálnym mocninovým radom o jednej premennej, ale o toľko premenných, aká je dimenzia danej štruktúry.

Nech ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},\ldots )}$ je číselná postupnosť. Obyčajná vytvárajúca funkcia k postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$ je formálny mocninový rad

${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$

Nech ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},\ldots )}$ je číselná postupnosť. Exponenciálna vytvárajúca funkcia k postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$ je formálny mocninový rad

${\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Názov exponenciálna vytvárajúca funkcia pochádza zo skutočnosti, že pre Taylorov rad exponenciálnej funkcie ${\displaystyle e^{x}}$ platí

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Nech ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},\ldots )}$ je číselná postupnosť. Poissonova vytvárajúca funkcia k postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$ je formálny mocninový rad

${\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x)\,.}$

Nech ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }=(a_{1},a_{2},\ldots )}$ je číselná postupnosť. Lambertova vytvárajúca funkcia k postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$ je formálny mocninový rad

${\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}$

Prítomnosť výrazu ${\displaystyle 1-x^{n}}$ v menovateli člena vytvárajúcej funkcie implikuje nutnosť indexovať postupnosť od čísla 1, nie od čísla 0.

Nech ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }=(a_{1},a_{2},\ldots )}$ je číselná postupnosť. Dirichletova vytvárajúca funkcia k postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$ je formálny mocninový rad

${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{x}}}.}$

Opäť je nutné indexovať postupnosť od čísla 1, čo spôsobila prítomnosť člena ${\displaystyle n^{x}}$ v menovateli vytvárajúcej funkcie.

1. ↑ Wilf, H. S.: Generatingfunctionology. Academic Press, 1994.
2. ↑ Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1990.
3. ↑ Matoušek, J., Nešetřil, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Karolinum, 2007.
4. ↑ Knuth, D. E.: The Art of Computer Programming, vol. I: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, 1997.

• Generujúce funkcie - Cut The Knot (po anglicky).
• Generujúce funkcie - Wolfram MathWorld (po anglicky).
• 1031 vytvárajúcich funkcií Archivované 2012-08-20 na Wayback Machine (po francúzsky).
• Stiahnutie knihy Genratingfunctionology (po anglicky).