Nebeski koordinatni sistemi

Glavni članak: Sferni koordinatni sistem

 

Sferni koordinatni sistem je definiran koordinatnim početkom i pravcima ka kojima su usmjerene osi. Ravan xy se naziva osnovna ravan. Sferne koordinate su udaljenost od koordinatnog početka (r ili ρ), kut između pozitivnog smjera x-osi i projekcije promatrane točke na osnovnu ravan (longituda, na slici obilježena sa λ, u literaturi se upotrebljavaju i θ i φ), kao i kut između promatrane točke i osnovne ravni (latituda, na slici φ, može biti obilježena i sa β ili θ). U matematici se umjesto kuta između točke i osnovne ravni često koristi njemu komplementaran kut — kut između točke i z-osi (kolatituda). Ako je udaljenost od koordinatnog početka fiksna (kod nebeskih koordinatnih sistema se smatra da je beskonačna, v. nebeska sfera), za opis položaja su dovoljne dvije kutne koordinate.^[2][3]

Glavni članak: Horizontski koordinatni sistem

 

Iz perspektive promatrača, najprirodniji koordinatni sistem je horizontski koordinatni sistem. Koordinatni početak je u promatraču, a osnovna ravan je horizont, odnosno ravan tangentna na Zemlju u točki u kojoj se nalazi posmatrač. Točka direktno iznad promatrača se naziva zenit, dok je njena antipodna tačka nadir. Koordinate su horizontska visina i azimut. Horizontska visina (a) je kut između promatranog objekta i ravni horizonta. Nekada se umjesto horizontske visine koristi zenitna daljina (z), koja je komplementarna horizontskoj visini^[4]:

${\displaystyle z=90^{\circ }-a}$ 

Azimut (A) je kut između odabranog smjera i projekcije promatranog objekta na ravan horizonta. Azimut se može mjeriti od smjera sjevera ili juga, i to ili u smjeru kazaljke na satu (retrogradan, matematički negativan smjer) od 0° do 360°, ili na oba smjera od 0° do 180°, zbog čega je pri interpretaciji horizontskih koordinata potrebno obratiti pažnju kako je autor definirao azimut.^[1][2][4]. U ovom članku, azimut se mjeri od sjevera u smjeru kazaljke na satu (sjever: A = 0°; istok: A = 90°; jug: A = 180°; zapad: A = 270°).

Veliki krug na nebeskoj sferi koji sadrži sjeverni i južni nebeski pol se naziva meridijan i normalan je na nebeski ekvator, a može se shvatiti i kao projekcija Zemaljskog meridijana na nebesku sferu. Meridijan koji prolazi i kroz zenit i nadir je lokalni meridijan datog promatrača, a sadrži i sjevernu i južnu tačku horizonta tog promatrača. Sunce i zvijezde imaju najvišu horizontsku visinu (kulminiraju) kada prolaze kroz lokalni meridijan.^[1][2]

Glavni članci: Nebeski ekvatorijalni koordinatni sistem i Mjesni ekvatorijalni koordinatni sistem

 

Druga prirodna osnovna ravan za promatrače na Zemlji je ravan ekvatora. Kako prilikom rotacije i revolucije Zemlje smjer Zemljine osi ostaje praktično nepromjenjen, tu se ne mijenja ni položaj ravni normalne na ovu os, a to je ravan ekvatora. Kut koji objekti zaklapaju sa ovom ravni se naziva deklinacija. Deklinacija se obilježava slovom δ i izražava u stupnjevima; točke sjeverno od ekvatora imaju pozitivnu odnosno južno od ekvatora negativnu deklinaciju. Tako deklinacija sjevernog nebeskog pola iznosi +90°, a južnog nebeskog pola -90°.^[1][2][4]

S obzirom na činjenicu da je nebeski ekvator nagnut u odnosu na ravan Zemljine orbite ekliptike, postoje samo dvije presječne točke ovih ravni (promatrano kao dva velika kruga na nebeskoj sferi) — točka proljetnog (γ-točka) i točka jesenjeg ekvinocija (Ω-točka). Položaj γ-točke na nebeskoj sferi je relativno fiksan (uslijed precesije, γ-točka napravi jedan pun krug po ekliptici za oko 25.800 godina), tako da je ona pogodna polazna tačka za mjerenje kuta na ekvatoru i na ekliptici. Kut između γ-točke i projekcije objekta na ravan nebeskog ekvatora mjeren u direktnom smjeru (matematički pozitivan smjer; suprotan kretanju kazaljke na satu) se naziva rektascenzija i obilježava se slovom α. Referentni sistem čije su koordinate rektascenzija i deklinacija se naziva nebeski ekvatorijalni koordinatni sistem, i najčešće je korišten nebeski koordinatni sistem za određivanje položaja tijela van Sunčevog sistema (katalozi zvijezda i objekata dubokog neba), jer se koordinate ovih tijela vrlo malo mjenjaju u nebeskom ekvatorijalnom koordinatnom sistemu (samo prilikom precesije i vlastitog kretanja, a diurnalno i godišnje kretanje Zemlje nema utjecaja). Rektascenzija se može izražavati u kutnim stupnjevima, minutima i sekundama, ili u satima, vremenskim minutima i vremenskim sekundama (1 sat odgovara uglu od 15°, s obzirom na to da Zemlja napravi pun krug tj. 360° za 24 sata).^[1][2][4]

 

Umjesto smjera γ-točke, kao referentan smjer se može odabrati lokalni jug, odnosno lokalni meridijan. Kut mjeren od juga ka promatranom objektu u smjeru kazaljke na satu se naziva satni kut (h), i pokazuje koliko je vremena prošlo od kako se objekt nalazio u lokalnom meridijanu. Deklinacija i satni kut su koordinate mjesnog ekvatorijalnog koordinatnog sistema. Satni kut γ-točke je lokalno zvjezdano (sideričko) vrijeme (θ). Važi odnos^[4]

${\displaystyle \theta =h+\alpha }$ 

Sideričko vrijeme i satni kut se češće izražavaju u satima, vremenskim minutima i vremenskim sekundama nego u kutnim mjerama.^[2] Svi objekti koji imaju istu rektascenziju imaju i isti satni kut, zbog čega se polukružnica definirana fiksnom rektascenzijom naziva i satna kružnica. Uzimajući ovu definiciju u obzir, može se reći da je satni kut onaj između lokalnog meridijana i satne kružnice.^[1]

Glavni članak: Epoha (astronomija)

Položaj zvijezda i drugih nebeskih tijela van Sunčevog sistema se po pravilu daje u odnosu na nebeski ekvatorijalni koordinatni sistem. Međutim, s obzirom na perturbacije koje Zemlja trpi na svojoj orbiti (precesija, nutacija, perturbacija putanje pod utjecajem drugih planeta), elementi koordinatnog sistema moraju biti jednoznačno definirani. U tu svrhu se definira odgovarajuća „epoha“, kako bi se znalo na koji trenutak se odnose koordinate (ekvatorijalne i ekliptičke). Trenutno je u upotrebi epoha J2000.0 (1. 1. 2000. u 12:00 UTC+0), zasnovana na Fundamentalnom katalogu 5 koji je objavljen 1988. godine i sadrži referentne podatke za 3117 fundamentalnih zvijezda.^[1]

Glavni članak: Ekliptički koordinatni sistem

 

 

Ekliptika — ravan Zemljine orbite ili veliki krug na nebeskoj sferi definiran godišnjim kretanjem Sunca — osnovna je ravan još jednog važnog koordinatnog sistema, po njoj nazvanog ekliptički koordinatni sistem. Postoje tri verzije u zavisnosti od položaja koordinatnog početka: topocentrična, geocentrična i heliocentrična. Za udaljene objekte, razlika među njima je zanemarljiva, ali ne i u slučaju tijela Sunčevog sistema.^[4]

Pored kuta između objekta i ekliptike (ekliptička latituda, β), drugi kut je ekliptička longituda (λ) — kut između projekcije objekta na ravan ekliptike i γ-točke, koja je pogodna jer je dijele ekliptika i nebeski ekvator. Ekliptička latituda je pozitivna sjeverno od ekliptike, a negativna južno od ekliptike. Sjeverni i južni ekliptički pol imaju latitudu +90° i -90°, respektivno. Sjeverni i južni nebeski pol, uslijed precesije, kruže oko sjevernog i južnog pola ekliptike.^[1][4]

Heliocentrična ekliptička latitutda i longituda se obilježavaju sa β’ i λ’, a za prevođenje iz geocentričnih u heliocentrične ekliptičke koordinate je potrebno znati i udaljenost do promatranog objekta. Konverzija se onda najlakše radi prevođenjem koordinata objekta u Dekartove koordinate, preračunavanjem koordinata u odnosu na novi koordinatni početak (sve osi ostaju paralelne) i zatim preračunavanjem koordinata iz pravokutnih u nove sferne.^[4]

Ekliptički koordinatni sistem je naročito pogodan za predstavljanje položaja tijela Sunčevog sistema, jer planete (i njihovi sateliti) malo odstupaju od ravni ekliptike, tako da uvijek imaju malu latitudu. Geocentrična ekliptička latituda Sunca i heliocentrična ekliptička latituda Zemlje su praktično nula.^[4]

Glavni članak: Galaktički koordinatni sistem

 

Galaktički koordinatni sistem je heliocentrični nebeski koordinatni sistem čija je osnovna ravan ona Mliječne staze. S obzirom da Sunce leži vrlo blizu galaktičkoj ravni, bilo je moguće smjestiti centar ovog koordinatnog sistema u centar Sunca. Koordinate su galaktička latituda (b, pozitivna na sjever, negativna na jug) i galaktička longituda (l). Galaktička longituda se mjeri u direktnom smjeru od središta Mliječne staze, za koje se smatra crna rupa, koja predstavlja snažan izvor radio-zračenja i označava se Sagittarius A*. Sagittarius A* dakle ima galaktičke koordinate l = 0° odnosno b = 0°, dok su njegove ekvatorijalne koordinate α = 17^h 45,7^min, δ = -29° 00’. Ekliptičke koordinate galaktičkog sjevernog pola su α = 12^h 51,4^min, δ = +27° 08’.^[4]

Ovakav referentni sistem je Međunarodna astronomska unija definirala tek 1959. godine, nakon što je utvrđen položaj središta galaksije. Prije toga je galaktička longituda računata od presjeka nebeskog ekvatora sa ravni galaksije. Danas se za galaktičke koordinate po starom sistemu koriste oznake l ^I i b ^I.^[4]

Glavni članak: Supergalaktički koordinatni sistem

 

Relativnu planarnu distribuciju maglina uočio je još William Herschel, a Gérard de Vaucouleurs je sredinom 20. vijeka potvrdio proučavanjem kataloga, postojanje supergalaktičke ravni, u čijoj blizini leži većina grupa galaksija i galaktičkih klastera koje pripadaju lokalnom superklasteru Djevici. Supergalaktički sjeverni pol ima galaktičke koordinate l = 47,37°, b = + 6,32°, a osnovni pravac je definiran presjekom sa ravni galaksije i ima koordinate 'l = 137,37°, b = 0°.^[6]

S obzirom na to da katalozi objekata van Sunčevog sistema (zvijezde, maglice, galaksije...) najčešće koriste ekvatorijalne koordinate, po pravilu se transformacije nebeskih koordinata vrše preko ekvatorijalnih koordinata. U daljem tekstu se koriste sljedeće oznake:

• A — azimut (računat od sjevera)
• a — horizontska visina
• z — zenitna daljina (90° - a)
• φ — geografska širina promatrača
• δ — deklinacija
• α — rektascenzija
• h — satni kut
• ε — nagib ekliptike (kut između ekliptike i nebeskog ekvatora)
• λ — ekliptička longituda
• β — ekliptička latituda
• l — galaktička longituda
• b — galaktička latituda

 

Za izvođenje transformacija koordinata jednog nebeskog koordinatnog sistema u drugi, potrebno je poznavati dva teorema sferne trigonometrije — sinusni i kosinusni teorem.^[4]

• Sinusni teorem za sferni trokut glasi da je u datom sfernom trokutu, odnos sinusa kutova i sinusa njima nasuprotnih stranica konstantan:

${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{\sin {a}}}={\frac {\sin {\beta }}{\sin {b}}}={\frac {\sin {\gamma }}{\sin {c}}}}$ 

• Kosinusni teorem sferne trigonometrije je:

${\displaystyle \cos {a}=\cos {b}\cos {c}+\sin {b}\sin {c}\cos {\alpha }}$ 

${\displaystyle \cos {b}=\cos {a}\cos {c}+\sin {a}\sin {c}\cos {\beta }}$ 

${\displaystyle \cos {c}=\cos {a}\cos {b}+\sin {a}\sin {b}\cos {\gamma }}$ 

 

Ako su date koordinate u horizontskom sistemu (visina a i azimut A), i ako je poznata geografska širina promatrača (φ), tada su odgovarajuće ekvatorske koordinate:^[4]

${\displaystyle \sin {t}\cos {\delta }=-\sin {A}\cos {a}}$ 

${\displaystyle \cos {t}\cos {\delta }=-\cos {A}\cos {a}\sin {\phi }+\sin {a}\cos {\phi }}$ 

${\displaystyle \sin {\delta }=\cos {A}\cos {a}\cos {\phi }+\sin {a}\sin {\phi }}$ 

Ako su poznate ekvatorske koordinate (satni kut t i deklinacija δ), kao i geografska širina promatrača, tada su odgovarajuće horizontske koordinate:^[4]

${\displaystyle \sin {A}\cos {a}=-\sin {t}\cos {\delta }}$ 

${\displaystyle \cos {A}\cos {a}=-\cos {t}\cos {\delta }\sin {\phi }+\sin {\delta }\cos {\phi }}$ 

${\displaystyle \sin {a}=\cos {t}\cos {\delta }\cos {\phi }+\sin {\delta }\sin {\phi }}$ 

Prve dvije jednadžbe iz oba seta ne smiju se dijeliti, jer bi se dobio tangnes satnog kuta (odnosno azimuta), a tangens kutova ne razlikuje kutove u prvom i trećem kvadrantu, odnosno u drugom i četvrtom kvadrantu.

Veza između rektascenzije (α) i satnog kuta je:

${\displaystyle \theta =\alpha +t}$ 

gdje je θ lokalno sideričko vrijeme.

 

Ako su date deklinacija i rektascenzija nekog objekta, tada se njegove geocentrične ekliptičke koordinate mogu izračunati na sljedeći način:^[4]

${\displaystyle \sin {\lambda }\cos {\beta }=\sin {\delta }\sin {\epsilon }+\cos {\delta }\cos {\epsilon }\sin {\alpha }}$ 

${\displaystyle \cos {\lambda }\cos {\beta }=\cos {\delta }\cos {\alpha }}$ 

${\displaystyle \sin {\beta }=\sin {\delta }\cos {\epsilon }-\cos {\delta }\sin {\epsilon }\sin {\alpha }}$ 

Obrnuto, ekvatorijalne koordinate se iz geocentričnih ekliptičkih mogu izračunati pomoću sljedećih jednadžbi:^[4]

${\displaystyle \sin {\alpha }\cos {\delta }=-\sin {\beta }\sin {\epsilon }+\cos {\beta }\cos {\epsilon }\sin {\lambda }}$ 

${\displaystyle \cos {\alpha }\cos {\delta }=\cos {\lambda }\cos {\beta }}$ 

${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\beta }\cos {\epsilon }+\cos {\beta }\sin {\epsilon }\sin {\lambda }}$ 

 

Neka je l_N galaktička longituda sjevernog nebeskog pola (123,0°), a α_P i δ_P rektascenzija i deklinacija sjevernog galaktičkog pola (α_P = 12^h 51,4^min, δ_P = 27° 08’). Tada važe sljedeće relacije:^[4]

${\displaystyle \sin(l_{N}-l)\cos {b}=\cos {\delta }\sin(\alpha -\alpha _{P})}$ 

${\displaystyle \cos(l_{N}-l)\cos {b}=-\cos {\delta }\sin {\delta _{P}}\cos(\alpha -\alpha _{P})+\sin {\delta }\cos {\delta _{P}}}$ 

${\displaystyle \sin {b}=\cos {\delta }\cos {\delta _{P}}\cos(\alpha -\alpha _{P})+\sin {\delta }\sin {\delta _{P}}}$ 

• Sferni koordinatni sistem
• Sferna trigonometrija
• Geografske koordinate
• Precesija
• Nutacija
• Nagib ekliptike
• Sideričko (zvjezdano) vrijeme

• Patrick Moore, ur. (2002). Philip's Astronomy Encyclopedia. Philip's. ISBN 0–540–07863–8. 
• Paul Murdin, ur. (2001) ((en)). Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics. Institure of Physics Publishing. ISBN 0-7503-0440-5. 
• Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. New York: Facts on File, Inc.. ISBN 0-8160-5124-0. 
• Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner, ur. (2007) (en). Fundamental Astronomy (5th izd.). Berlin: Springer. str. 21. ISBN 978-3-540-34143-7. 

 

Nebeski koordinatni sistemi na Wikimedijinoj ostavi

• Positional Astronomy Arhivirano 2012-09-10 na Wayback Machine-u — Sferna trigonometrija, nebeski koordinatni sistemi, transformacije koordinata, i prateći zadaci (en)
• Konverzija galaktičkih u druge nebeske koordinate Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine-u (en)
• Standardi funfamentalne astronomije (Međunarodna astronomska unija) — set algoritama i procedura koji implementiraju standardne modele koji se koriste u fundamentalnoj astronomiji (dostupan za Fortran i C) (en)
• Naval Observatory Vector Astrometry Software (NOVAS) Arhivirano 2015-06-28 na Wayback Machine-u — integrirani paket procedura za različite proračune u pozicijskoj astronomiji (dostupan za Fortran, C i Python) (en)