Comptonov efekat

Da bi objasnio pojavu, Kompton je upotrebio tri osnovne formule klasične i moderne fizike:

• Čestičnu prirodu svetlosti, kako je već demonstrirano u fotoelektričnom efektu
• Relativističku dinamiku iz specijalne teorije relativnosti
• Trigonometriju - kosinusni zakon

te je dobio sledeću jednačinu Komptonovog rasejanja:

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })+\lambda _{1}}$ 

gde je

${\displaystyle \lambda _{1}}$  talasna dužina fotona pre sudara,

${\displaystyle \lambda _{2}}$  talasna dužina fotona posle rasejanja,

m_e masa elektrona,

h/(m_ec) Komptonova talasna dužina,

θ ugao skretanja fotona,

h Plankova konstanta, i

c brzina svetlosti.

Komptonova talasna dužina iznosi 2,43×10⁻¹² metara.

Polazimo od zakona o održanju energije:

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,}$ 

gde je ${\displaystyle E_{\gamma }}$  energija fotona pre sudara a ${\displaystyle E_{e}}$  energija elektrona pre sudara – jednaka njegovoj masi mirovanja. Promenljive sa primom (') označavaju stanje nakon sudara.

Isto treba da važi i zakon o održanju momenta:

${\displaystyle {\vec {p}}_{\gamma }+{\vec {p_{e}}}={\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{e'}}}\,}$ 

gde, zbog jednostavnosti, podrazumevamo da elektron pre sudara miruje pa ${\displaystyle p_{e}=0}$ 

Koristeći vezu između energije i frekvencije, i energije i impulsa ${\displaystyle E=hf=pc}$  iz gornjeg izraza nalazimo:

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}={\vec {p_{\gamma }}}-{\vec {p_{\gamma '}}}\,}$ 

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}^{2}={({\vec {p_{\gamma }}}-{\vec {p_{\gamma '}}})}^{2}}$ 

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}^{2}={\vec {p_{\gamma }}}^{2}-2\cdot {\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{\gamma '}}}^{2}}$ 

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}\cdot {\vec {p_{e'}}}={\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma }}}-2\cdot {\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{\gamma '}}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}}$ 

${\displaystyle {p_{e'}}^{2}\cdot \cos(0)=p_{\gamma }^{2}\cdot \cos(0)-2\cdot p_{\gamma }\cdot p_{\gamma '}\cdot \cos(\theta )+p_{\gamma '}^{2}\cdot \cos(0)}$ 

Kosinusni član, ${\displaystyle \cos(\theta )}$ , se javlja jer foton menja pravac kretanja pa je za slaganje momenata potrebno uzeti u obzir ugao među njima.
Zamenjivanjem ${\displaystyle p_{\gamma }}$  sa ${\displaystyle {\frac {hf}{c}}}$  i ${\displaystyle p_{\gamma '}}$  sa ${\displaystyle {\frac {hf'}{c}}}$ , nalazimo

${\displaystyle p_{e'}^{2}={\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}}$ 

Sada transformišemo energijski deo:

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,}$ 

${\displaystyle hf+mc^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}\,}$ 

i rešavamo ga po p_e':

${\displaystyle (hf+mc^{2}-hf')^{2}=(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}\,}$ 

${\displaystyle {\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}=p_{e'}^{2}\,}$ 

Sada imamo dve različita izraza za ${\displaystyle p_{e'}^{2}}$ , koja smemo da izjednačimo:

${\displaystyle {\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}={\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}}$ 

Sada je samo pitanje preuređivanja:

${\displaystyle h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}=h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta }\,}$ 

${\displaystyle -2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}=-2h^{2}ff'\cos {\theta }\,}$ 

${\displaystyle hff'-(f-f')mc^{2}=hff'\cos {\theta }\,}$ 

${\displaystyle hff'(1-\cos {\theta })=(f-f')mc^{2}\,}$ 

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda '}}{\frac {c}{\lambda }}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c}{\lambda }}-{\frac {c}{\lambda '}}\right)mc^{2}}$ 

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda '}}{\frac {c}{\lambda }}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c\lambda '}{\lambda \lambda '}}-{\frac {c\lambda }{\lambda '\lambda }}\right)mc^{2}}$ 

${\displaystyle h(1-\cos {\theta })={\frac {\lambda '}{c}}{\frac {\lambda }{c}}\left({\frac {c\lambda '}{\lambda '\lambda }}-{\frac {c\lambda }{\lambda \lambda '}}\right)mc^{2}}$ 

${\displaystyle h(1-\cos {\theta })=\left({\frac {\lambda '}{c}}-{\frac {\lambda }{c}}\right)mc^{2}}$ 

${\displaystyle {\frac {h}{mc}}(1-\cos {\theta })=\lambda '-\lambda }$ 

Dakle, nakon sudara sa elektronom u atomu, foton menja pravac (ugao ${\displaystyle \theta }$ ) i talasnu dužinu od ${\displaystyle \lambda }$  u ${\displaystyle \lambda '}$  izbijajući iz atoma elektron koji odnosi deo prvobitne energije fotona.

Komptonovo rasejanje je od prvorazrednog značaja u radiologiji jer je to najverovatniji mehanizam međudelovanja visokoenergijskih H-zraka i atoma u tkivu i koristi se u radijacionoj terapiji.

U istraživanjima, Komptonovo rasejanje se koristi za ispitivanje elektronskog omotača u atomu.

• Fotoelektrični efekat

 

Comptonov efekat na Wikimedijinoj ostavi

• Compton Effect (PDF file) by Michael Brandl for Project PHYSNET Arhivirano 2006-01-17 na Wayback Machine-u.
• Compton Scattering - Georgia State University
• Compton Scattering Data - Georgia State University
• Derivation of Compton shift equation
• Erklärung und Animationen Arhivirano 2015-07-13 na Wayback Machine-u (LEIFI-Physik)
• Animation zur Richtungsverteilung von Photon und Elektron (bei BIGS)