Integrală curbilinie

În termeni cantitativi, o integrală curbilinie în analiza vectorială poate fi gândită ca o măsură a efectului cumulat al unui câmp de-a lungul unei curbe.

Pentru unele câmpuri scalare f : U ⊆ Rⁿ ${\displaystyle \to }$  R, integrala pe o curbă C ⊂ U este definită ca

${\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$ 

unde r: [a, b] ${\displaystyle \to }$  C este o parametrizare bijectivă arbitrară a curbei C astfel încât r(a) și r(b) dau capetele lui C.

Funcția f se numește integrand, curba C este domeniul de integrare, iar simbolul ds poate fi interpretat euristic ca o lungime elementară de arc pentru curba respectivă. Integralele curbilinii pe câmpuri scalare nu depind de alegerea parametrizării r.

Pentru un câmp vectorial F : U ⊆ Rⁿ ${\displaystyle \to }$  Rⁿ, integrala pe o curbă C ⊂ U, în direcția lui r, se definește ca

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$ 

unde r: [a, b] ${\displaystyle \to }$  C este o parametrizare bijectivă a lui C astfel încât r(a) și r(b) dau capetele lui C.

Integralele curbilinii pe câmpuri vectoriale nu depind de parametrizarea r în valoare absolută, dar depind de orientare. Anume, inversarea orientării parametrizării schimbă semnul integralei curbilinii.

Dacă un câmp vectorial F este gradientul unui câmp scalar G, adică,

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$ 

atunci derivata compunerii lui G și r(t) este

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$ 

care este chiar integrandul integralei curbilinii a lui F pe r(t). Rezultă că, dacă se dă o cale C , atunci

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$ 

Cu alte cuvinte, integrala lui F peste C depinde doar de valorile lui G în punctele r(b) și r(a) și deci nu depinde de calea dintre acestea.

Din acest motiv, o integrală curbilinie pe un câmp real care este gradientul unui câmp scalar se numește independentă de drum.

Integrala curbilinie are multe utilizări în fizică. De exemplu, lucrul mecanic efectuat de o particulă care se deplasează de-a lungul unei curbe C într-un câmp de forțe reprezentat sub formă de câmp vectorial F este integrala curbilinie a lui F pe C.

Văzând numerele complexe ca vectori bidimensionali, integrala curbilinie în 2D a unui câmp de vectori corespunde cu partea reală a integralei curbilinii a conjugatei funcției complexe cu variabile complexe corespunzătoare.

Datorită ecuațiilor Cauchy-Riemann, rotorul câmpului de vectori corespunzător conjugatei unei funcții olomorfe este zero. Conform teoremei lui Stokes, ambele tipuri de integrală curbilinie sunt astfel zero.

Integrala curbilinie este o unealtă fundamentală în analiza complexă. Presupunând că U este o submulțime deschisă a lui C, ${\displaystyle \gamma }$  : [a, b] ${\displaystyle \to }$  U este o curbă iar f : U ${\displaystyle \to }$  C este o funcție. Atunci integrala curbilinie

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz}$ 

poate fi definită prin subdivizarea intervalului [a, b] în a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b și considerând expresia

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})).}$ 

Atunci integrala este limita acestei sume, când lungimile intervalelor diviziunii se apropie de zero.

Dacă ${\displaystyle \gamma }$  este o curbă continuă și derivabilă, integrala curbilinie poate fi evaluată ca integrală a unei funcții cu o singură variabilă:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.}$ 

Când ${\displaystyle \gamma }$  este curbă închisă, adică punctul său final și cel inițial coincid, notația

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz}$ 

se folosește pentru integrala curbilinie a lui f pe curba ${\displaystyle \gamma }$ .

Integralele curbilinii ale funcțiilor complexe pot fi evaluate folosind mai multe tehnici: integrala poate fi descompusă în partea reală și partea imaginară reducând problema la evaluarea a două integrale curbilinii cu valori reale; în alte cazuri se poate folosi formula lui Cauchy. Dacă integrala curbilinie este o curbă închisă într-o regiune în care funcția este analitică și nu conține singularități, atunci valoarea integralei este zero, aceasta fiind o consecință a teoremei integrale a lui Cauchy. Datorită teoremei reziduurilor, se pot folosi integralele pe contur în planul complex pentru a găsi integralele cu valori reale ale funcțiilor cu valori reale de variabilă reală.

Fie funcția f(z)=1/z, și fie conturul C cercul unitate centrat în 0, ce poate fi parametrizat de e^it, cu t în ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ . Substituind, rezultă

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt}$ 

${\displaystyle =i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i}$ 

unde se folosește faptul că orice număr complex z poate fi scris sub forma ${\displaystyle re^{it}}$  unde r este modulul lui z. Pe cercul unitate, aceasta este constant 1, deci singura variabilă rămasă este unghiul, notat cu t. Acest răspuns poate fi verificat și cu ajutorul formulei integrale a lui Cauchy.

• Vasile Tutovan, Electricitate și magnetism, vol I, Editura Tehnică, 1984
• Șerban Țițeica: Termodinamica, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1982.
• F. Sears, M. Zemansky, H. Young, Fizică (University Physics 5th Edition), EDP, București, 1983

Portal Matematică