Inel (matematică)

Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică

${\displaystyle (\forall x,y\in A)\ x*y=y*x}$  atunci inelul ${\displaystyle A}$  este un inel comutativ.

Dacă ${\displaystyle A\neq \{0\}}$  și înmulțirea admite element neutru, adică

${\displaystyle (\exists 1\in A)\ (\forall x\in A)\ 1*x=x*1=x}$  atunci inelul ${\displaystyle A}$  este inel cu unitate sau inel unitar.

Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).^[2]

Un inel în care orice element (în afară de ${\displaystyle 0}$ ) are invers față de înmulțire se numește corp.

Elementul neutru în raport cu operația ${\displaystyle +}$  se notează ${\displaystyle 0}$  și se numește elementul nul, iar simetricul lui ${\displaystyle x\in A}$  în raport cu adunarea se notează ${\displaystyle -x}$  și se numește opusul lui ${\displaystyle x}$ . În loc de ${\displaystyle x+(-y)}$ , vom nota ${\displaystyle x-y}$ .

Dacă ${\displaystyle A}$  este inel unitar, atunci elementele lui ${\displaystyle A}$  simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .

Se notează cu ${\displaystyle U(A)}$  mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar ${\displaystyle A}$ , adică

${\displaystyle U(A)=\{x\in A|\exists \ x^{,}\in A,x*\ x^{,}=\ x^{,}*x=1\}}$ 

Fie ${\displaystyle A}$  un inel. Două elemente ${\displaystyle x,y\in A}$  se numesc permutabile dacă ${\displaystyle x*y=y*x}$ . Un element ${\displaystyle a\in A}$  se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul ${\displaystyle A}$ . Mulțimea

${\displaystyle C(A):=\{a\in A|a*x=x*a,\forall x\in A\}}$ 

a tuturor elementelor centrale din ${\displaystyle A}$  se numește centrul inelului ${\displaystyle A}$ .

1. Inelul numerelor întregi

   ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,*)}$  este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar ${\displaystyle U(\mathbb {Z} )=\{-1,1\}}$ .

2. Inelul numerelor raționale

   ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,*)}$  este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus ${\displaystyle U(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q^{*}} }$ .

3. Inelul numerelor reale

   ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,*)}$  este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus ${\displaystyle U(\mathbb {R} )=\mathbb {R^{*}} }$ .

4. Inelul numerelor complexe

   ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,*)}$  este inel comutativ cu ${\displaystyle U(\mathbb {C} )=\mathbb {C^{*}} }$ .

5. Inelul ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  al claselor de resturi modulo n.

   ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+,*)}$  este inel comutativ, iar ${\displaystyle U(\mathbb {Z} _{n})=\{{\hat {a}}\in \mathbb {Z} _{n}|(a,n)=1\}}$ .

Fie ${\displaystyle A}$  un inel. Atunci pentru ${\displaystyle \forall x,y,z\in A}$ , avem:

1. ${\displaystyle x*0=0*x=0}$ 
2. ${\displaystyle (-x)*y=x*(-y)=-x*y}$ 
3. ${\displaystyle (-x)*(-y)=x*y}$ 
4. ${\displaystyle x*(y-z)=x*y-x*z}$  și ${\displaystyle (y-z)*x=y*x-z*x}$ 
5. Dacă ${\displaystyle A}$  este inel cu unitate, atunci ${\displaystyle (-1)*x=-x}$ 
6. Dacă ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ ,atunci definim ${\displaystyle x^{1}=x}$  și ${\displaystyle x^{m}=x^{m-1}*x,(m\geq 2)}$ . Pentru ${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ^{*}}$ , avem ${\displaystyle x^{m+n}=x^{m}*x^{n}}$ .

• Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
• Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.

• Inelul numerelor întregi
• Corp (matematică)