Inel (matematică)

Un inel ${\displaystyle I=(A,+,*)}$ este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport ${\displaystyle \ A}$ și două operații binare, definite pe produsul cartezian ${\displaystyle A\times A}$ cu valori în ${\displaystyle \ A}$, numite convențional ${\displaystyle +}$ (sau operația aditivă) și ${\displaystyle *}$ (sau operația multiplicativă), astfel încât:

1. ${\displaystyle G=(A,+)}$ formează un grup comutativ sau abelian. Elementul neutru al lui ${\displaystyle G}$ se notează în general cu ${\displaystyle 0}$.
2. ${\displaystyle S=(A,*)}$ formează un monoid.
3. Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice ${\displaystyle x,y,z\in A}$:

${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$

${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$

Termenul a fost introdus în 1897 de David Hilbert.^[1]

Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică

${\displaystyle (\forall x,y\in A)\ x*y=y*x}$ atunci inelul ${\displaystyle A}$ este un inel comutativ.

Dacă ${\displaystyle A\neq \{0\}}$ și înmulțirea admite element neutru, adică

${\displaystyle (\exists 1\in A)\ (\forall x\in A)\ 1*x=x*1=x}$ atunci inelul ${\displaystyle A}$ este inel cu unitate sau inel unitar.

Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).^[2]

Un inel în care orice element (în afară de ${\displaystyle 0}$) are invers față de înmulțire se numește corp.

Elementul neutru în raport cu operația ${\displaystyle +}$ se notează ${\displaystyle 0}$ și se numește elementul nul, iar simetricul lui ${\displaystyle x\in A}$ în raport cu adunarea se notează ${\displaystyle -x}$ și se numește opusul lui ${\displaystyle x}$. În loc de ${\displaystyle x+(-y)}$, vom nota ${\displaystyle x-y}$.

Dacă ${\displaystyle A}$ este inel unitar, atunci elementele lui ${\displaystyle A}$ simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .

Se notează cu ${\displaystyle U(A)}$ mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar ${\displaystyle A}$, adică

${\displaystyle U(A)=\{x\in A|\exists \ x^{,}\in A,x*\ x^{,}=\ x^{,}*x=1\}}$

Fie ${\displaystyle A}$ un inel. Două elemente ${\displaystyle x,y\in A}$ se numesc permutabile dacă ${\displaystyle x*y=y*x}$. Un element ${\displaystyle a\in A}$ se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul ${\displaystyle A}$. Mulțimea

${\displaystyle C(A):=\{a\in A|a*x=x*a,\forall x\in A\}}$

a tuturor elementelor centrale din ${\displaystyle A}$ se numește centrul inelului ${\displaystyle A}$.

1. Inelul numerelor întregi

   ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,*)}$ este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar ${\displaystyle U(\mathbb {Z} )=\{-1,1\}}$.

2. Inelul numerelor raționale

   ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,*)}$ este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus ${\displaystyle U(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q^{*}} }$.

3. Inelul numerelor reale

   ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,*)}$ este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus ${\displaystyle U(\mathbb {R} )=\mathbb {R^{*}} }$.

4. Inelul numerelor complexe

   ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,*)}$ este inel comutativ cu ${\displaystyle U(\mathbb {C} )=\mathbb {C^{*}} }$.

5. Inelul ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ al claselor de resturi modulo n.

   ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+,*)}$ este inel comutativ, iar ${\displaystyle U(\mathbb {Z} _{n})=\{{\hat {a}}\in \mathbb {Z} _{n}|(a,n)=1\}}$.

Fie ${\displaystyle A}$ un inel. Atunci pentru ${\displaystyle \forall x,y,z\in A}$, avem:

1. ${\displaystyle x*0=0*x=0}$
2. ${\displaystyle (-x)*y=x*(-y)=-x*y}$
3. ${\displaystyle (-x)*(-y)=x*y}$
4. ${\displaystyle x*(y-z)=x*y-x*z}$ și ${\displaystyle (y-z)*x=y*x-z*x}$
5. Dacă ${\displaystyle A}$ este inel cu unitate, atunci ${\displaystyle (-1)*x=-x}$
6. Dacă ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$,atunci definim ${\displaystyle x^{1}=x}$ și ${\displaystyle x^{m}=x^{m-1}*x,(m\geq 2)}$. Pentru ${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ^{*}}$, avem ${\displaystyle x^{m+n}=x^{m}*x^{n}}$.

• Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
• Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.

• Inelul numerelor întregi
• Corp (matematică)