Transformada de Cayley

A transformada de Cayley é um automorfismo da linha projetiva real que permite os elementos de {1, 0, −1, ∞} em sequência.^[7] Por exemplo, ele mapeia os números reais positivos para o intervalo [−1, 1]. Assim, a transformada de Cayley é usada para adaptar os polinômios de Legendre para uso com funções nos números reais positivos com funções racionais de Legendre.^[8]

Como uma homografia real, os pontos são descritos com coordenadas projetivas e o mapeamento é

${\displaystyle [y,\ 1]=[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$ 

 

No plano projetivo complexo, a transformada de Cayley é:^[9][10]

${\displaystyle f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$ 

Como {∞, 1, –1 } é mapeado para {1, –i, i }, e as transformações de Möbius permitem os círculos generalizados^[11] no plano complexo, f mapeia a linha real para o círculo unitário. Além disso, como f é contínuo e i é levado a 0 por f, o semiplano superior é mapeado para o disco da unidade.^[12]

Em termos de modelos de geometria hiperbólica, essa transformação de Cayley relaciona o modelo de meio plano de Poincaré ao modelo de disco de Poincaré^[13]. Na engenharia elétrica, a transformada de Cayley foi usada para mapear um semi-plano de reatância para o gráfico de Smith usado para a correspondência de impedâncias das linhas de transmissão.

No espaço quadridimensional dos quaterniões q = a + b i + c j + d k, os versores^[14]

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$  formar a unidade de esferas 3D.

Como os quatérnions são não comutativos, os elementos de sua linha projetiva têm coordenadas homogêneas escritas U (a, b) para indicar que o fator homogêneo se multiplica à esquerda. A transformação de quaternion é

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].}$ 

As homografias reais e complexas descritas acima são instâncias da homografia do quaternião em que θ é zero ou π/2, respectivamente. Evidentemente, a transformação leva u → 0 → –1 e leva –u → ∞ → 1.

Avaliar esta homografia em q = 1 mapeia o versor u em seu eixo:

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$ 

Entretanto ${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$ 

Por conseguinte ${\displaystyle f(u,1)={\frac {-\sin \theta }{1+\cos \theta }}r=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$ 

Nesta forma, a transformada de Cayley foi descrita como uma parametrização racional da rotação: Deixet t = tan φ/2 na identidade numérica complexa^[15]

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$ 

onde o lado direito é a transformação de ti e o lado esquerdo representa a rotação do plano em radianos φ negativos.

Deixe ${\displaystyle u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.}$  Como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$ 

onde a equivalência está no grupo linear projetivo^[16] sobre os quaterniões, o inverso de f(u, 1) é

${\displaystyle U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].}$ 

Como as homografias são bijeções, ${\displaystyle f^{-1}(u,1)}$  mapeia os quaterniões vetoriais para a esfera tridimensional dos versores. Como os versores representam rotações em espaços tridimensionais, a homografia f ⁻¹ produz rotações da bola em ℝ³.