Transformação de Galileu

 

Embora as transformações sejam nomeadas em homenagem a Galileu, é o conceito de tempo e espaço absolutos como concebido por Isaac Newton que fornece seu domínio de definição. Em essência, as transformações de Galileu incorporam a noção intuitiva de adição e subtração de velocidades como vetores.

Esta suposição é abandonada nas transformações de Lorentz. Estas transformações relativistas são aplicáveis ​​a todas as velocidades, enquanto que a transformação de Galileu pode ser considerada como uma aproximação de baixa velocidade para a transformação de Lorentz.^[2]

A notação abaixo descreve a relação sob a transformação de Galileu entre as coordenadas (x,y,z,t) e (x′,y′,z′,t′) de um único evento arbitrário, tal como medido em dois sistemas de coordenadas S e S′, em movimento relativo uniforme (velocidade v) com direções x e x’ comuns e com as suas origens espaciais coincidindo no tempo t = t′ = 0:^[3][4][5][6]

${\displaystyle x'=x-vt\,}$ 

${\displaystyle y'=y\,}$ 

${\displaystyle z'=z\,}$ 

Relativo ao tempo, tem-se:

${\displaystyle t'=t\,}$ 

Note-se que a última equação expressa a assunção de um tempo universal independente do movimento relativo de diferentes observadores.

Na linguagem da álgebra linear, esta transformação é considerada um mapeamento de cisalhamento, e é descrita com uma matriz atuando em um vetor. Com o movimento paralelo ao eixo x, a transformação atua apenas em dois componentes:

${\displaystyle (x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.}$ 

Apesar de as representações matriciais não serem estritamente necessárias para a transformação de Galileu, elas fornecem os meios para a comparação direta com os métodos de transformação da relatividade especial.

 

As simetrias de Galileu podem ser escritas de forma única como a composição de uma rotação, uma translação e um movimento uniforme do espaço-tempo.^[7] Seja x um ponto no espaço tridimensional, e t um ponto no tempo unidimensional. Um ponto geral no espaço-tempo é dado por um par ordenado (x,t). Um movimento uniforme, com velocidade v, é dado por ${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}$ , onde v esta em R³. Uma translação é dada por ${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}$ , onde a está em R³ e b em R. Uma rotação é determinada por ${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}$ , onde G : R³ → R³ é uma transformação ortogonal. Como um grupo de Lie, as transformações de Galileu tem 10 dimensões.^[7]

Aqui, vamos apenas olhar para a álgebra de Lie do grupo de Galileu. É fácil estender os resultados para o grupo de Lie. A álgebra de Lie de L é gerada por H, P_i, C_i e L_ij (tensor antissimétrico) sujeitos a comutadores, onde

${\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$ 

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}$ 

H é gerador de translações de tempo (hamiltoniana), P_i é gerador de translações (operador de impulso), C_i é gerador de impulsos Galileu e L_ij representa um gerador de rotações (operador de momento angular).

Pode-se dar-lhe uma extensão central na álgebra de Lie gerado por H′, P′_i, C′_i, L′_ij (tensor antissimétrico), M tal que M comuta com tudo (ou seja, fica no centro, por isso é chamado de uma extensão central) e

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$ 

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$ 

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}$ 

• Referencial inercial
• Grupo de Lorentz
• Grupo de Poincaré