Representação de Heisenberg

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, ${\displaystyle |\psi \rangle }$ , não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right),}$ 

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$  é dado por:

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle }$ 

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$ 

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle ,}$ 

e então nós definiremos

${\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}$ 

Agora obteremos

${\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }}$ 

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

${\displaystyle ={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)}$ 

(a última passagem é válida já que ${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$  comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

${\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)}$ 

(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots }$ 

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots .}$ 

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores ${\displaystyle x(t_{1}),x(t_{2}),p(t_{1})}$  e ${\displaystyle p(t_{2})}$ . A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$ 

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}$ 

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}$ 

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}}$ 

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}}$ 

nos leva a:

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}$ 

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$ 

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ 

${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ 

${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ 

Perceba que para ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ , simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

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• «No capítulo 2 há uma introdução para a Representação de Heisenberg» (em inglês) 

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