Representação de Dirac

Operadores e vetores dos estados quânticos na Representação de Dirac são relacionados pela mudança de base para aqueles operadores e vetores na Representação de Schrödinger.^[1]

Para alternar na Representação de Dirac, nós dividimos o hamiltoniano da Representação de Schrödinger em duas partes, ${\displaystyle H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}}$ . Qualquer escolha das partes nos dará uma Representação de Dirac válida, mas para nos ser útil na simplificação do problema, as partes serão escolhidas de forma que ${\displaystyle H_{0,S}}$  será facilmente resolvido e ${\displaystyle H_{1,S}}$  conterá as partes mais difíceis de analisar deste sistema.

Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema quântico interagir com um campo elétrico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos será vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com ${\displaystyle H_{1,S}}$ , deixando o ${\displaystyle H_{0,S}}$  independente do tempo. Nós iremos assumir que este será o caso. (se existir um contexto em que isto faça sentido ter um ${\displaystyle H_{0,S}}$  dependente do tempo, então deve-se trocar ${\displaystyle e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }}$  pelo operador de evolução).

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como^[2]

${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle }$ 

Onde ${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle }$  é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

Um operador na Representação de Dirac é definido como

${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}$ 

Perceba que ${\displaystyle A_{S}(t)}$  não será dependente de t e pode ser reescrito como ${\displaystyle A_{S}}$ .

Para o operador ${\displaystyle H_{0}}$  a Representação de Dirac e Schrödinger são idênticas

${\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}}$ 

Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comutáveis com funções diferenciáveis. Este operador em particular também pode ser escrito da forma ${\displaystyle H_{0}}$  sem ambiguidade.

Para a perturbação hamiltoniana ${\displaystyle H_{1,I}}$ , teremos

${\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$ 

onde a perturbação hamiltoniana da Representação de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a não ser que ${\displaystyle [H_{1,s},H_{0,s}]=0}$ ).

É possível de se obter a Representação de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo ${\displaystyle H_{0,s}(t)}$ , mas os exponencias precisam ser substituídos pelo propagador unitário devido para ${\displaystyle H_{0,s}(t)}$  ou mais explícito com uma integral exponencial ordenada pelo tempo.

A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representação de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe ${\displaystyle \rho _{I}}$  e ${\displaystyle \rho _{S}}$  ser a matriz de densidade na Representação de Dirac e na Representação de Schrödinger, respectivamente. Se existe possibilidade de ${\displaystyle p_{n}}$  ser no estado físico ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ , então

${\displaystyle \rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$ 

Transformando a Equação de Schrödinger numa Representação de Dirac teremos:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}$ 

Esta equação se refere à equação Schwinger-Tomonaga.

Se o operador ${\displaystyle A_{S}}$  é independente do tempo então a evolução temporal correspondente para ${\displaystyle A_{I}(t)}$  é dada por

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}$ 

Na Representação de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representação de Heisenberg com o hamiltoniano ${\displaystyle H'=H_{0}}$ .

Transformando a equação de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}$ 

O propósito da Representação de Dirac é nos desviar de toda dependência do tempo devido o H₀ dos operadores, deixando apenas H_{1, I} afetando a dependência do tempo dos vetores do estado quântico.

A Representação de Dirac é conveniente quando considerado o efeito de uma pequena interação, H_{1, S}, sendo somado ao hamiltoniano de um sistema solucionado, H_{0, S}. Pela troca na Representação de Dirac, nós podemos usar a teoria perturbacional dependente do tempo para encontrar o efeito de H_{1, I}.

• Representação de Schrödinger
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• Notação Bra-ket
• Teorema de Haag