Operador autoadjunto

Um operador autoadjunto, hermitiano ^{(português brasileiro)} ou hermítico ^{(português europeu)} é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.^[1]

Propriedades

Um operador $T\,$ é autoadjunto se e somente se^[2]^[3]

\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,~~\forall x,y\,

Todo autovalor $\lambda \,$ de um operador autoadjunto $T\,$ é real:

\lambda \langle v,v\rangle =\langle Tv,v\rangle =\langle v,Tv\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \,

Se $\lambda _{1}\,$ e $\lambda _{2}\,$ são autovalores diferentes associados a autovetores $v_{1}\,$ e $v_{2}\,$ . Então $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0\,$ :

\lambda _{1}\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle Tv_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{1},Tv_{2}\rangle =\lambda _{2}\langle v_{1},v_{2}\rangle \,

\Longrightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{2})\langle v_{1},v_{2}\rangle =0

Como

\lambda _{1}

e

\lambda _{2}

são distintos, temos

\lambda _{1}-\lambda _{2}\neq 0

, portanto

\langle v_{1},v_{2}\rangle =0

.

Aplicação do hermitiano na mecânica quântica

Dizer que duas funções diferentes

\Psi _{i}

e

\Psi _{j}

são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:

\int \Psi _{i}^{*}\Psi _{j}dt=0

para

i\neq j

Prova da ortogonalidade de funções de onda

Sejas duas autofunções

\Psi _{n}

e

\Psi _{m}

correspondentes a dois valores diferentes de energia

E_{n}

e

E_{m}

respectivamente. Podemos então escrever:

{\widehat {H}}\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}

e

{\widehat {H}}\Psi _{m}=E_{m}\Psi _{m}

\int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt

e

\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt=E_{m}\int \Psi _{n}^{*}\Psi _{m}dt

\int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt-{\biggl (}\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt{\biggl )}^{*}=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt-E_{m}\int \Psi _{n}\Psi _{m}^{*}dt

Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:

0=(E_{n}-E_{m})\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt

Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.

Operador Linear

No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.^[1]

Teorema

Considere $A$ uma matriz Hermitiana de ordem $n$ , $r$ um inteiro com $1\leq r\leq n$ e $A_{r}$ uma submatriz principal de ordem $r$ de $A$ (obtida removendo $n-r$ linhas e suas colunas correspondentes de $A$ ). Para cada inteiro $k$ tal que $1\leq k\leq r$ , obtemos $\lambda _{k}(A)\leq \lambda _{k}(A_{r})\leq \lambda _{k+n-r}(A).$

Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.

Referências

↑ ^a ^b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2
↑ Hermitian Conjugate of an Operator
↑ Weisstein, Eric W. «Operador Hermitian». MathWorld (em inglês)

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[horn-1] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2

[HCO-2] Hermitian Conjugate of an Operator

[3] Weisstein, Eric W. «Operador Hermitian». MathWorld (em inglês)

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