Média geométrica

A média geométrica de um conjunto de dados ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$  é dada a seguinte forma:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}$ 

A média geométrica de um conjunto de dados é menor que o conjunto de dados média aritmética ao menos que todos os membros do conjunto de dados sejam iguais, o que nesse caso a média geométrica e aritmética são iguais. Isso possibilita a definição da média aritmética-geométrica, uma combinação das duas que sempre se encontra no meio.

A média geométrica também é a média aritmética-harmônica no sentido de que se duas sequências (${\displaystyle a_{n}}$ ) e(${\displaystyle h_{n}}$ ) são definidas:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$ 

e

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}$ 

onde ${\displaystyle h_{n+1}}$  é a média harmônica dos valores anteriores das duas sequências, então ${\displaystyle a_{n}}$  e ${\displaystyle h_{n}}$  irão convergir para a média geométrica de ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$ .

Isto pode ser visto facilmente pelo fato de que sequências convergem para um limite comum (que pode ser visto no Teorema de Bolzano-Weierstrass) e o fato de que a média geométrica é preservada:

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$ 

Substituindo a média aritmética e a harmônica por um par de médias generalizadas de opostos, exponenciações finitas acarretam o mesmo resultado.

Usando identidades de logaritmos para transformar a fórmula, a multiplicação pode ser expressa como soma e a potência como uma suma.

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}$ 

Isto é algumas vezes chamado de média logarítmica. É simples computar a média aritmética dos valores do logaritmo transformado de ${\displaystyle a_{i}}$  (i.e., a aritmética significa a escala logarítmica) e quando usada a exponenciação para retornar a computação da escala original, i.e, é a média-f generalizada com ${\displaystyle f(x)=\log x}$ . Por exemplo, a média geométrica de 2 e 8 pode ser calculada da seguinte forma:

${\displaystyle b^{(\log _{b}(2)+\log _{b}(8))/2}=4,}$ 

onde ${\displaystyle b}$  é qualquer base do logaritmo (geralmente 2, ${\displaystyle e}$  ou 10).

Geralmente se utilizam a fórmula na direita (acima) como alternativa para implementação nas linguagens computacionais: overlfows ou underflows são menos prováveis de acontecer quando comparados com o cálculo de um conjunto de números devido ao cálculo do logaritmo.

Se um conjunto de números não idênticos é submetido a média-preservada de propagação - ou seja, dois ou mais elementos de um conjunto são "propagados à parte" para cada um dos outros enquanto deixam a média aritmética não modificada - então a média geométrica sempre decresce. ^[1]

Nos casos onde a média geométrica está sendo usada para determinar a média da taxa de crescimento de alguma quantidade, e os valores inicias e finais ${\displaystyle a_{0}}$  e ${\displaystyle a_{n}}$  desta quantidade são conhecidos, o produto da taxa de crescimento medida a cada passo não precisa ser calculado. Em vez disso, a média geométrica é simplesmente:

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}},}$ 

onde ${\displaystyle n}$  é o número de passos do estado inicial para o estado final.

Se os valores são ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ , então a taxa de crescimento medida entre ${\displaystyle a_{k}}$  e ${\displaystyle a_{k+1}}$  é ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$ . A média geométrica dessas taxas de crescimento é apenas: ${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}$ 

A propriedade fundamental da média geométrica, que pode ser comprovada para ser falsa em qualquer outra média é:

${\displaystyle {\mathit {GM}}\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {{\mathit {GM}}(X_{i})}{{\mathit {GM}}(Y_{i})}}}$ 

Isto faz a média geométrica a única média correta quando resulta em média normalizada, este é o resultado que está presente em relações com os valores de referência. ^[2] Este é o caso quando ao apresentar o desempenho do computador com respeito ao computador referente, ou quando computamos uma único índice de média de raiz severamente heterogênea (por exemplo a expectativa de vida, anos de educação e mortalidade infantil). Nesse cenário, usar a média aritmética ou harmônica poderia mudar o ranking dos resultados dependendo do que for usado como referência. Por exemplo, pegue a seguinte comparação de execução do tempo de programas de computador:

A média aritmética e a geométrica concordam que o computador C é mais rápido. De qualquer modo, por apresentar valores apropriadamente normalizados e usando a média aritmética, nós podemos mostrar qualquer um dos outros dois computadores como o mais rápido. Normalizando pelos resultados de A como o computador mais rápido de acordo com a média aritmética, temos:

enquanto normalizando pelos resultados de B como o computador mais rápido pela média aritmética temos:

Em todos os casos, o ranking dado pela média geométrica continua o mesmo que o obtido sem os valores normalizados.

A média geométrica é mais apropriada que a média aritmética para descrever crescimentos proporcionais, tanto crescimento exponencial (proporção constante de crescimento) e crescimento variado; nos negócios a média geométrica da taxa de crescimento é conhecida como composição anual da taxa crescimento (CAGR). A média geométrica do crescimento sobre períodos acarreta os equivalentes crescimentos constantes da taxa que poderiam acarretar a mesma quantia.

Suponha que uma laranjeira acarreta 100 laranjas por ano e então 180, 210 e 300 seguindo os anos, então o crescimento é 80%, 16.66% e 42,8571% para cada ano respectivamente. Usando a média aritmética calculamos a uma média linear do crescimento de 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,85261% dividido por 3). Todavia, se nós começarmos com 100 laranjas e tivermos um crescimento de 46,5079% cada ano, o resultado é 314 laranjas, não 300, então a média linear não corresponde aos valores de crescimento em cada ano.

Em vez disso, nós podemos usar a média geométrica. Crescimento de 80% corresponde a multiplicar por 1.80, então nós pegamos a média geométrica de 1,80, 1,16666 e 1,428571, i.e ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1,80\times 1,166666\times 1,428571}}=1,442249}$ ; logo a "média" do crescimento por ano é 44,2249%. Se nós começarmos com 100 laranjas e pegarmos o número acrescido de 44,2249% cada ano, o resultado é 300 laranjas.

Embora a média geométrica tenha sido relativamente rara na computação da estatística social, a partir de 2010 a Unite Nations Human desenvolveu um índice que o usa no cálculo.

A média geométrica decresce o nível de substituibilidade entre dimensões sendo comparadas e no mesmo tempo garante que 1 porcento recusa em dizer a expectativa de vida ao nascer tem o mesmo o mesmo impacto no IDH como 1 porcento recusado na educação ou renda. Assim, como base de comparação de arquivos, este método é o mais respeitável da inerente diference através das dimensões do que uma média simples. ^[3]

Note que nem todos os valores usados para computar o IDH são normalizados, alguns deles tem a forma ${\displaystyle (X-X_{\min })/(X_{\mathrm {norm} }-X_{\min })}$ . Isto faz a escolha da média geométrica menos óbvio do que uma poderia esperar das "Propriedades" na seção acima.

A média geométrica tem sido usada na escolha de um compromisso em filme e vídeo: dadas duas relações de aspecto, a média geométrica deles promovem um compromisso entre eles, distorcendo ou recortando ambos em alguns casos algum sentido igual. Concretamente, dois retângulos de iguais área (com o mesmo centro e lados paralelos) de diferentes proporções cruzam num retângulo cuja relação de aspecto é a média geométrica, e o seu casco (retângulo mais pequeno que contém a ambos), também tem a sua razão de aspecto média geométrica .

Na escolha da 16:9 relação de aspecto de SMPTE, balanço 2,35 e 4:3, a média geométrica ${\displaystyle {\sqrt {2,35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1,7701}$ , e assim ${\displaystyle 16:9=1,77{\overline {7}}}$ ... foi escolhida. Isto foi descoberto empiricamente por Kerns Powers, que cortar retângulos com áreas iguais e em forma-los para corresponder cada um dos formatos de imagem populares. Quando sobrepostos com os seus pontos de centro alinhado, ele descobriu que todos esses retângulos relação de aspecto de caber dentro de um retângulo externo com uma relação de aspecto de 1,77:1 e todos eles também cobriu um retângulo interno menor comum com a mesma proporção

1,77:1.^[4] O valor encontrado por Powers é exactamente a média geométrica das proporções extremas, 4:3 (1,33:1) e CinemaScope (2,35:1), que é coincidentemente próximo de ${\displaystyle 16:9}$  (${\displaystyle 1,77{\overline {7}}:1}$ ). Note-se que as relações intermédias têm nenhum efeito sobre o resultado, apenas as duas relações extremas.

Aplicando a mesma técnica de média geométrica de cerca de 16:9 e 4:3 produz o 14:9 (${\displaystyle 1,55{\overline {5}}}$ ...) relação de aspecto, que é também usada como compromisso entre relações.^[5] Neste caso 14:9 é exatamente a média aritmética de ${\displaystyle 16:9}$  e ${\displaystyle 4:3=12:9}$ , desde que 14 é a média de 16 e 12, enquanto a precisa média geométrica ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1,5396\approx 13,8:9}$ , mas os dois meios diferentes', aritmética e geométrica, são aproximadamente iguais porque ambos os números são suficientemente próximas uma da outra (uma diferença de menos de 2%)

Em revestimentos ópticos, onde a reflexão precisa ser minimizado entre dois meios de índices de refração n₀ e n₂, o índice óptico refrativo n₁ de anti-reflective coatingé dado pela média geométrica: ${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$ .

Em processamento de sinais, nivelamento espectral, uma medida de como plana ou espetado um espectro é, é definida como a relação entre a média geométrica do espectro de potência para a sua média aritmética.

No caso de um triângulo retângulo, a sua altura é o comprimento de uma linha que se estende perpendicularmente a partir da hipotenusa do seu 90 ° vértice. Imaginar que esta linha divide a hipotenusa em dois segmentos, a média geométrica destes comprimentos de segmento é o comprimento da altura.

Na elipse, o semi-eixo menor é a média geométrica da maior e menor distância da elipse de um foco; e o semi-eixo maior da elipse representa a média geométrica da distância a partir do centro para ambos os foco e a distância a partir do centro para ambos os directrix.

A média geométrica foi ao longo do tempo usada para o cálculo dos índices financeiros (a média é sobre os componentes do índice). Por exemplo, no passado, o índice FT 30 usou uma média geomérica.^[6] É também usado na medida recentemente introduzido imposto de inflação no Reino Unido e no resto da União Europeia.

Como Rowley afirma, isso tem o efeito de subestimar variações do índice de comparação com o uso da média aritmética. Como explica Rowley, há circunstâncias em que este é indesejável, por exemplo na medição de custos de mudanças de vida, onde é indesejável para "amortecer" grandes alterações em alguns dos componentes do índice.

Se um investimento rende 10% no primeiro ano e 20% no segundo ano, qual será o rendimento médio desse investimento?

Seja C o capital inicial, após esses dois anos o montante M será igual a ${\displaystyle M=C*1,10*1,20=1,32*C}$ . Se tomarmos a média aritmética teríamos 15% como média, porém, ao calcular o montante ao final dos dois anos obteríamos ${\displaystyle M=C*1,15*1,15=1,3225*C}$ , que é diferente de 1,32*C.

Por outro lado, a média geométrica entre 10% e 20% é igual a ${\displaystyle {\sqrt {1,10*1,20}}\approx 1,1489}$ . Aplicando essa média ao capital inicial, temos que ${\displaystyle C*{\sqrt {1,10*1,20}}*{\sqrt {1,10*1,20}}=C*(1,10*1,20)=1,32*C}$ , que é exatamente igual ao valor obtido quando aplicamos os rendimentos originais.

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