Função zeta de Riemann

A primeira vez que esta função surgiu foi no trabalho de Leonhard Euler, que, ao estudar a distribuição dos números primos, mostrou que a série $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}}$$  era uma série divergente (o que, como corolário, é mais uma prova de que existem infinitos números primos).^[1]

A prova de Euler se baseou na identidade $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1+p^{-s}+p^{-2s}+\ldots )=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}}$$  em que o produto percorre todos os números primos.^[1]

Euler e, mais tarde, Pafnuti Tchebychev, haviam usado esta identidade, respectivamente, para s igual a um e para s real. Riemann, em 1858, tratou s como uma variável complexa, e estudou a série $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$$  por técnicas da teoria das funções analíticas. Esta série converge apenas em parte do plano complexo, mas define, por continuação analítica, uma função única para todos os números complexos,^{[Nota 1]} exceto para o polo em s = 1. Riemann usou a letra grega zeta para escrever esta função, e por causa disto ela é chamada função zeta de Riemann.^[2]

Riemann anunciou várias propriedades importantes desta função, porém suas provas eram incompletas. Seu trabalho foi completado por Hadamard, em 1893, e por Mangoldt, em 1894.^[3]

Os zeros s = σ + i t desta função são de dois (ou três) tipos:

• os zeros triviais, que são os valores de s que correspondem aos números pares negativos
• os zeros localizados na linha crítica em que σ = 1/2
• possíveis outros zeros, localizados na faixa crítica 0 < σ < 1

A hipótese de Riemann é a de que todos os zeros da faixa crítica são aqueles em que σ = 1/2.^[4]

Os três primeiros zeros na linha crítica da função correspondem a t₁ = 14,1347, t₂ = 21,0220 e t₃ = 25,0109.^[4]

• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·