Dilatação do tempo

Nas Teorias da Relatividade de Albert Einstein, a dilatação do tempo manifesta-se em duas circunstâncias:

• Na Relatividade restrita, relógios que se deslocam em relação ao de um referencial inercial "andam" mais devagar para um observador atrelado a esse referencial. Este efeito é descrito pela Transformação de Lorentz.
• Na Relatividade geral, relógios com baixa energia potencial em um campo gravitacional — como, por exemplo, nas proximidades de um planeta — "andam" mais devagar. Assim, um relógio em órbita nas proximidades da Terra tem uma cadência mais lenta do que um similar em órbita de maior raio.
• Na Relatividade restrita, a dilatação temporal é recíproca: do ponto de vista de qualquer um dos relógios que se movem um com relação ao outro, é o outro relógio que está a atrasar. Na relatividade restrita presume-se que o movimento relativo das duas partes é uniforme, ou seja, elas não aceleram em relação à outra durante o período de observação.
• Em contraste, a dilatação temporal atrelada à gravidade, tratada na Relatividade geral, não é recíproca. A dilatação temporal gravitacional é igualmente inferida por todos os observadores envolvidos, de forma que essa dependa apenas de suas altitudes em relação ao astro responsável pelo campo gravitacional. Dados dois astronautas em órbitas circulares distintas, em virtude do campo de gravidade da terra, o relógio do astronauta em órbita mais baixa tem compasso mais lento se comparado ao em órbita de maior raio, sendo assim inferida por qualquer dos observadores.
• A situação descrita para a dilatação do tempo atrelada à gravidade é estendida para acelerações de qualquer natureza mediante o princípio da equivalência proposto inicialmente por Einstein, e pode por tal ser referenciada como dilatação do tempo atrelada à aceleração.

Mostra-se importante frisar que a dilatação do tempo é um fenômeno real, que afeta não apenas os relógios mas todos os eventos, inclusive os biológicos. Tanto a dilatação do tempo atrelada à velocidade relativa quanto a dilatação do tempo atrelada à aceleração podem levar a dessincronias reais entre relógios previamente justapostos e sincronizados. O exemplo clássico é o paradoxo dos gêmeos, que envolve uma viagem de ida em uma nave espacial em velocidade próxima à da luz, justaposta à correspondente viagem de regresso, na qual apenas um dos gêmeos é passageiro.

 

Quando dois observadores estão em movimento uniforme e sem nenhuma influencia gravitacional, do ponto de vista de cada um, observar-se-á que os ponteiros do relógio junto ao outro observador movem-se a velocidades angulares menores do que as de seu relógio. Quanto maior a velocidade relativa entre os referenciais, maior deve ser a magnitude do tempo dilatado. Assume-se nesse exemplo que os referenciais estão a afastar-se um do outro de forma a tornar o efeito talvez forçosamente "visível" via efeito Doppler; e Desvio para o vermelho. Esse caso é o mais simples dentro da relatividade especial.^[3]

Por exemplo, duas naves espaciais (A e B) afastando-se uma em relação a outra, movendo-se em velocidade próxima à da luz irão experimentar o efeito de dilatação temporal. Se fosse possível observar, a partir de uma das naves, digamos a nave A, o que ocorre no interior da outra nave, digamos a nave B, tudo na nave B seria visualizado de dentro da nave A como se os eventos lá estivessem a ocorrer de forma mais lenta do que a esperada para o ritmo normal dos respectivos eventos caso eles estivessem a dar-se no interior da nave A. Isto é, dentro do referencial da nave A, tudo se moveria "normalmente", mas tudo na nave B pareceria ocorrer de forma "mais lenta" que o "normal" se observado de A.

Para uma outra perspectiva, o tempo registrado em relógios que estão em referenciais inerciais estáticos um em relação ao outro será inferido sempre com a mesma taxa relativa; em outras palavras, se uma nova nave C viaja paralelamente a nave A, havendo repouso de uma em relação uma a outra, do ponto de vista da nave A, os eventos na nave C dar-se-iam em ritmo "normal", ou seja, o mesmo ocorrendo de forma recíproca. Os eventos em A seriam vistos ocorrendo em ritmo "normal" por um observador na nave C; de forma que, ao compararem-se os relógios das duas naves, esses registram tempos com taxas relativas iguais e unitárias. O mesmo seria inferido caso a nave C estivesse justaposta à nave B.^[4]

A situação mostrar-se-á contudo bem mais confusa e contraditória caso as naves estejam aproximando-se e não a afastando-se em velocidade relativa próxima à da luz. Embora o observador em uma das naves (A) veja agora o que se dá na outra nave, a móvel (B), ocorrendo de forma "mais rápida" do que a normal - dado o efeito Doppler e o desvio para o azul - ainda assim, em termos de tempos e intervalos de tempo definidos segundo as normas da relatividade restrita, o intervalo de tempo entre dois eventos inferidos pelo observador estático (A) mediante a subtração dos valores de tempos t associados aos citados eventos conforme determinados em seu referencial espaçotemporal - eventos que dão de forma estática na origem do referencial móvel (B) - far-se-ia maior do que o respectivo intervalo de tempo inferidos via subtração das respectivas leituras tomadas via relógio móvel; e o relógio móvel (B) estaria a atrasar-se em relação à inferência de tempo no referencial fixo (A). É altamente recomendado que se faça antes um estudo acerca de como o tempo t é medido em um sistema de referências segundo as regras da relatividade especial a fim de se compreender corretamente o conceito de dilatação do tempo. É por tal requisito que se compreenda antes o que é o tempo e como se procede com a medida do mesmo no âmbito da relatividade antes de se prosseguir com o estudo acerca da dilatação do tempo.

Através das transformações de Lorentz é possível inferir a relação entre um intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta t}$  mensurado por um observador A ao observar o seu sistema de relógios estáticos que definem o associado referencial espaçotemporal e o intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta t'}$  que será por ele inferido via valores registrados através de um relógio móvel S' atrelado à origem de um referencial B que dele afaste-se com uma velocidade +v. ^[5]. Sendo c a velocidade da luz, e assumindo por simplicidade um movimento unidimensional na direção x, observa-se que:

${\displaystyle \Delta t=\ t_{2}-t_{1}={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}$  ^[1]

ou

${\displaystyle \Delta t'=\Delta t{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 

Como o denominador na primeira expressão é menor que a unidade para qualquer valor não nulo de v, um intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta t}$  registrado via malha de relógios síncronos a S é sempre maior do que o correspondente intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta t'}$  inferido no referencial A via relógio móvel S'; e pelo observador B ao olhar para o seu próprio relógio S'. Visto por A, durante um dado intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta t}$  o tempo t avança mais do que o inferido em S' pois ${\displaystyle \Delta t>\Delta t'}$ , e o relógio móvel S' é visto pelo observador A de forma a gradualmente atrasar-se em relação aos relógios que compõem o seu sistema de coordenadas espaço-temporal. Vale lembra que no referencial móvel B dotado do relógio móvel S', o relógio S' encontra-se sempre na mesma posição, especificamente na origem desse por simplificação, ao passo que no referencial A o mesmo relógio S' é visto em posições diferentes em tempos diferentes.

Caso o observador B utilize o seu relógio S' para inferir o intervalo de tempo entre dois eventos que em seu referencial (B) ocorram separados por uma distância ${\displaystyle \Delta x'}$ , os mesmos dois eventos serão vistos pelo observador (A) segundo os relógios que compõem seu sistema de coordenadas - para o qual o relógio S' e os eventos encontram-se movendo-se com velocidade v - separados por um intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta t}$  igual a:

${\displaystyle \Delta t=\ t_{2}-t_{1}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}({\Delta t'+{v\Delta x'}/{c^{2}}})\,}$ ^[1]

Assumindo o relógio S' sempre na origem do referencial B, a separação espacial ${\displaystyle \Delta x'}$  entre eventos distintos dos ponteiros desse relógio conforme inferida no citado referencial B é nula, ou seja, ${\displaystyle \Delta x'=0}$ . Recupera-se assim a situação descrita inicialmente. A título de curiosidade, a separação espacial ${\displaystyle \Delta x'}$  entre os dois eventos inferida no referencial B será segundo o observador no referencial A igual a:

${\displaystyle \Delta x=\ x_{2}-x_{1}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}({\Delta x'+v\Delta t'})\,}$ ^[1]

Repare que quaisquer dois eventos que ocorram na mesma posição (${\displaystyle \Delta x'=0}$ ) mas em tempos diferentes (${\displaystyle \Delta t'<>0}$ ) no referencial B serão vistos ocorrendo em posições diferentes no referencial A (${\displaystyle \Delta x<>0}$ ). Pode-se também inferir das expressões anteriores que, ao inverter-se a velocidade relativa entre referenciais (${\displaystyle +v=>-v}$ ), mantido a posição coincidente para os eventos no referencial B, no referencial A esses serão agora espacialmente inferidos em ordem inversa, sendo ${\displaystyle \Delta x}$  agora negativo e não positivo. Se no caso dos referenciais se afastando (+v) o evento 1 ocorria mais próximo do observador A e o evento 2 ocorria mais distante desse, no caso desses se aproximando o evento 1 ocorre em posição mais distante e o 2 em posição mais próxima a A; provido que ambos ocorram na mesma posição e ainda na mesma ordem temporal 1, 2 para o observador B. Contudo, mesmo os referenciais se aproximando, o referencial A ainda irá inferir que o relógio móvel (S') segue cadência mais lenta do que a determinada pelo seu sistema de tempo, e está pois a atrasar-se em relação à malha de relógios que compõem o sistema de referências (S). Isso ocorre pois, na equação que relaciona os dois intervalos de tempo, a velocidade relativa entre os referenciais aparece quadrada. Qualquer que seja o sentido do movimento, um relógio móvel é visto atrasando-se em relação ao tempo conforme definido no referencial estático.

Se para o observador A o seus relógios encontram-se fixos e o outro relógio encontra-se móvel, repare que para o observador B são os relógios que permitem a sua inferência de tempo é que encontram-se fixos, e o relógio de A é agora o relógio móvel. A situação para o observador B é assim análoga à de A quanto à solução, bastando intercambiar apenas B e A na mesma; e o observador B, ao olhar o relógio de A, o verá a mover-se, e também o verá gradualmente atrasando em relação ao seu sistema de tempo. Relógios móveis atrasam-se em relação à relógios fixos em se tratando de referenciais inerciais e medidas de tempo segundo as normas estabelecidas pela relatividade especial.

Uma suposto paradoxo decorre contudo das argumentações anteriores. Se ambos os observadores das naves A e B julgam que é na outra nave que os relógios estão a mover-se lentamente e não na sua, mantida a situação por algum tempo, ao regressarem ao estado de repouso relativo e compararem seus relógios, justapostos, qual deles estaria atrasado em relação a qual? Como a dilatação não afeta os relógios mas todos os eventos, em se tratando a exemplo de dois gêmeos univitelinos, quem teria envelhecido mais ou menos ao logo da viagem, após se encontrarem novamente? Tal paradoxo aparente é conhecido como paradoxo dos gêmeos. Não se trata contudo de um paradoxo; apenas de um problema que requer um entendimento mais sofisticado sobre o movimento relativo e dilatação temporal do que o provido pela relatividade restrita. A análise detalhada da situação envolve o regresso de uma das naves de forma a encontrar-se com a outra, o que requer, além da velocidade relativa das naves ter de ser negativa durante parte da trajetória (naves se aproximando), que ao menos um dos irmãos situe-se em uma nave necessariamente sujeita à uma acelerada em algum período ao longo da viagem. A dilatação temporal associada à aceleração não é simétrica, sendo igualmente inferida pelos dois observadores. O que encontrar-se na nave sujeita às maiores acelerações estará mais jovem no reencontro.

O efeito atrelado ao paradoxo dos gêmeos é real. Embora não se possa inferir seus efeitos diretamente em astronautas de uma missão espacial, é fatos que esses acabam geralmente retornando mais jovens à terra, mesmo que por frações de segundo. Considerações acerca desse efeito fazem-se contudo fundamentais para o correto funcionamento de aparelhos como o GPS ^[6]. Sem as correções relativísticas associadas, as incertezas nas posições fornecidas teriam ordens de grandeza na casa dos quilômetros ou mesmo dezenas de quilômetros, e não na casa dos metros ou, em caso de aparelhos científicos ou militares, na casa dos milímetros ou menos.

 

O problema envolvendo os astronautas é um pouco mais complicado que o paradoxo dos gêmeos dada a presença de um terceiro elemento que não pode ser excluído nesse caso: a terra ^{[nota 1]}. Em princípio, considerando-se apenas os efeitos do gradiente de gravidade do planeta e não os movimentos relativos, relógios mantidos em órbita mais próxima ao solo batem em ritmo mais lento quando observados pelos astronautas em virtude da gravidade da terra ser mais intensa junto ao solo; o mesmo sendo inferido pelos cientistas na terra, para os quais os relógios dos astronautas pareceriam seguir uma cadência mais rápida (o que levaria os astronautas a envelhecer mais depressa). Incluso a força normal sobre os cientistas e o movimento relativos entre esses e os astronautas contudo, os astronautas estão via de regra sujeitos à acelerações resultantes maiores que as dos cientistas ao longo de seus voos, e por tal regressam à terra geralmente mais jovens ^[7].

Visto de um referencial inercial, a situação afirmada pode ser melhor visualizada em termos de movimentos circulares. As acelerações resultantes são, tanto no caso dos cientistas como no caso dos astronautas, as necessárias para manterem-se os respectivos movimentos curvilíneos. Considere a nave e os astronautas em órbita geoestacionária, e o cientista na terra. Dada a natureza da órbita geoestacionária, ambos possuem nesse caso a mesma velocidade angular ${\displaystyle \omega }$ , e a aceleração centrípeta necessária à manutenção do movimento circular é nessa situação proporcional ao raio (${\displaystyle a_{c}=\omega ^{2}r}$ ). Assumindo-se que o cientista está sobre a linha do equador a olhar a nave junto ao zênite, sua trajetória circular tem raio praticamente análogo ao raio da terra ^{[nota 2]}. O raio da trajetória da nave e dos astronautas é contudo notoriamente maior, e assim também o é a aceleração resultante necessária. Ao se reencontrarem após uma longa estadia, os astronautas parecerão mais jovens.

Algo similar é esperado para dois relógios, um no terraço e outro no topo de um prédio, ou entre os relógios de uma base naval e de um submarino à alta profundidade. Observando-se que os efeitos de dilatação do tempo em virtude da gravidade e em virtude dos movimentos circulares descritos são na situação concorrentes, o primeiro fazendo os relógios mais próximos ao solo se atrasarem, o segundo fazendo os relógios mais altos se atrasarem, nesse caso, dada a pequena diferença de alturas, observa-se contudo que os efeitos de dilatação do tempo atrelados à gravidade superam os atrelados às diferentes velocidades em relação ao centro da terra. Ao contrário do astronauta em relação ao cientista, nesse caso o relógio mais alto "envelhece" em relação ao relógio mais baixo ^[8][9].

A dilatação do tempo associada à aceleração dá-se de forma análoga qualquer que seja a natureza de tal aceleração, não havendo necessidade dessa ser de origem gravitacional. Tal afirmação encontra corroboração no princípio da equivalência, princípio que impeliu Einstein ao desenvolvimento de sua teoria gravitacional (relatividade geral).

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