Conjunto denso

Seja X um espaço métrico, S um subconjunto de X. Se a topologia de X é induzida pela métrica, o fecho de S é definido pela união de todos os seus pontos limites ^[1] ${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}\mid a_{n}\in A{\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} \right\}}$  e S é denso em X se ${\displaystyle {\overline {S}}=X}$ 

Para um espaço topológico X qualquer, o fecho de S pode ser definido como o menor conjunto fechado ${\displaystyle {\overline {S}}}$  tal que ${\displaystyle S\cup {\overline {S}}}$ , e um conjunto S é denso em X se não existe um subconjunto C próprio fechado de X tal que ${\displaystyle S\cup C}$ .

• Todo conjunto ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$  contém um subconjunto enumerável denso em ${\displaystyle X}$ .^[2]

• Densidade é uma propriedade transitiva, de forma que dados conjuntos A, B e C, com A denso em B e B denso em C, então A é denso em C.

• Seja ${\displaystyle X\cup \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ . Se f é nula em um subconjunto denso de X, f é dita nula em quase todo X.

• Qualquer espaço topológico é um subconjunto denso de si próprio.
• (0,1) é denso em [0,1]
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  e ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$  são ambos densos em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , pois entre dois reais quaisquer, sempre existem, pelo menos, um racional e um irracional, do que podemos concluir que existe uma infinidade de racionais e outra de irracionais entre dois reais quaisquer.