Função logarítmica p-ádica

 Nota: Se procura apenas pela função logarítmica, veja Logaritmo.

A função logarítmica p-adic é o inverso da função exponencial p-adic, o qual é definido por uma série de potência na qual x converge para C_p satisfazendo |x|_p < 1 e log_p(z) para |z − 1|_p < 1 satisfazendo a propriedade log_p(zw) = log_pz + log_pw na seguinte fórmula:

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}}$.

A função log_p pode ser estendido a todos elementos de C ×
p  (o conjunto de elementos diferentes de zero de C_p) através da imposição de que continua a satisfazer esta última propriedade e definir log_p(p) = 0. Especificamente, cada elemento w de C ×
p  pode ser escrita como w = p^r·ζ·z sendo r um número racional, ζ a raiz de uma unidade e |z − 1|_p < 1,^[1] em que log_p(w) = log_p(z). Esta função em C ×
p  é, às vezes, chamado de logaritmo de Iwasawa para enfatizar que log_p(p) = 0.^[2]