Argumento (matemática)

Na matemática, argumento, abreviado como arg, de um número complexo z é o ângulo compreendido entre o eixo real positivo no plano complexo e a reta que une z com a origem deste plano.

O argumento é definido em dois caminhos equivalentes:

• Geometricamente, na relação do plano complexo, arg z é o ângulo φ no eixo dos reais positivos representado pelo vetor z. O valor numérico é dado pelo ângulo em radianos e é positivo se medido no sentido anti-horário.
• Algebricamente, um argumento de um número complexo z = x + iy é qualquer valor real ${\displaystyle \phi }$ tal que

${\displaystyle z=x+iy=r\cos \phi +ir\sin \phi \ }$

para algum real positivo r. A unidade r é o módulo de z, escrito como

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\ .}$

Os termos amplitude^[1] ou fase^[2] são usados, às vezes, para representar essa igualdade.

Sob ambas as definições, pode ser observado que o argumento de qualquer número complexo diferente de zero tem muitos valores possíveis: primeiramente, como um ângulo geométrico, é evidente que todas as rotações do círculo não alteram o ponto, de modo que ângulos diferentes por um número inteiro múltiplo de 2π radianos (um círculo completo) são os mesmos. Da mesma forma, a partir da periodicidade do seno e cosseno, a segunda definição também tem essa propriedade.

A notação para o argumento não é universal. Todavia, é comum denotá-lo como ${\displaystyle \operatorname {arg} (z)}$.

O argumento de um número complexo ${\displaystyle z\,\!}$ pode ser obtido de diversas maneiras, dentre as quais:

• Dado ${\displaystyle z=a+bi\,\!}$ (forma retangular), podemos obter ${\displaystyle \operatorname {arg} (z)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)}$;
• dado ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }\,\!}$ (forma polar e forma exponencial), temos ${\displaystyle \operatorname {arg} (z)=\theta }$.
• dado ${\displaystyle z=a+bi\!}$ e sabendo que ${\displaystyle {cos\theta }={\frac {a}{|z|}}}$ e ${\displaystyle {sen\theta }={\frac {b}{|z|}}}$, onde ${\displaystyle |z|\!}$ é distância entre ${\displaystyle O\!}$ e o ponto ${\displaystyle Z\!}$; buscamos os valores de sen e cos e assim acharemos na tabela trigonométrica qual ângulo possui esses valores para seno e cosseno.