Symetria figury

 

Dla figur płaskich i przestrzennych w zależności od rodzaju przekształcenia wyróżniana jest m.in.:

• symetria środkowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem ustalonego punktu zwanego środkiem symetrii. Na płaszczyźnie symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach (lub obrót o kąt 180 stopni), w przestrzeni jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii.
• symetria osiowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii. Symetria osiowa występuje m.in. w trójkącie Sierpińskiego.
• symetria płaszczyznowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii. Symetria płaszczyznowa występuje m.in. w piramidzie Sierpińskiego oraz kostce Mengera.
• symetria obrotowa (gwiaździsta) – przekształceniem jest na płaszczyźnie obrót figury wokół zadanego punktu o kąt będący podwielokrotnością kąta pełnego, a w przestrzeni wokół zadanej prostej (można wykazać, że musi być to środek masy i prosta przez niego przechodząca).
• symetria z obrotem (zwierciadlano-obrotowa) – na płaszczyźnie jest to złożenie symetrii względem prostej z obrotem o dowolny kąt wokół zadanego punktu. W przestrzeni jest złożeniem symetrii płaszczyznowej z obrotem wokół osi symetrii (symetria cylindryczna). [Niektóre pozycje książkowe podają, że w przestrzeni oś obrotu musi być prostopadła do płaszczyzny symetrii.]
• symetria sferyczna – przekształceniem jest dowolny obrót bryły wokół zadanego punktu. Własność tę posiada m.in. kula.
• symetria parzysta – złożenie parzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni). Przykładem jest symetria środkowa na płaszczyźnie (złożenie dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach).
• symetria nieparzysta – złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni).
• symetria ukośna – uogólnienie symetrii osiowej. Jeśli dane są dwie proste ${\displaystyle k}$  i ${\displaystyle m}$  przecinające się pod kątem α, oraz dany jest odcinek ${\displaystyle AB,}$  to symetria ukośna względem prostej ${\displaystyle k,}$  w kierunku prostej ${\displaystyle m,}$  polega na tym, że przez punkty ${\displaystyle A}$  i ${\displaystyle B}$  prowadzimy proste ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  równoległe do prostej ${\displaystyle m,}$  przecinające prostą ${\displaystyle k}$  odpowiednio w punktach ${\displaystyle K1}$  i ${\displaystyle K2,}$  i znajdujemy na nich punkty ${\displaystyle A'}$  i ${\displaystyle B'}$  w taki sposób, że odległość od punktu ${\displaystyle A}$  do ${\displaystyle K1}$  jest równa odległości od punktu ${\displaystyle K1}$  do ${\displaystyle A'}$  oraz analogicznie ${\displaystyle |BK2|=|K2B'|.}$ 

Symetria – przekształcenie ${\displaystyle f}$  przestrzeni euklidesowej E na siebie, mające pewną hiperpłaszczyznę H punktów stałych i spełniające warunek:

jeśli ${\displaystyle x\notin H}$  oraz ${\displaystyle x'=f(x),}$  to prosta ${\displaystyle xx'}$  jest prostopadła do hiperpłaszczyzny H oraz przecina tę hiperpłaszczyznę w połowie odcinka ${\displaystyle xx'.}$ 

W zależności od wymiaru hiperpłaszczyzny H otrzymujemy trzy osobno określone wyżej pojęcia:

• symetria środkowa (wówczas H jest punktem),
• symetria osiowa (H jest prostą),
• symetria płaszczyznowa (H jest płaszczyzną).

 

Grupa symetrii kwadratu składa się z czterech obrotów o kąty 90º, 180º, 270º i o kąt 0º (czyli przekształcenie tożsamościowe) oraz czterech symetrii osiowych (względem osi poziomej, pionowej i dwóch przekątnych). Złożenie dowolnych dwóch z tych ośmiu przekształceń też należy do tej grupy, ale wynik złożenia zależy od kolejności wykonywania tych przekształceń, tzn. działanie składania ich nie jest przemienne, więc grupa symetrii kwadratu jest nieprzemienna^[3].

W ogólnym ujęciu „symetryczność” może odnosić się także do obiektów niegeometrycznych, jak np. równania, czy macierze i dotyczyć innych własności niż relacje usytuowania w przestrzeni.

Przykłady: liczby palindromiczne, niektóre kwadraty magiczne, trójkąt Pascala, bliźniacze krzyżówki tautogramowe.

Poniższa macierz jest symetryczna (względem głównej przekątnej):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.}$ 

Zbliżonym do symetrii pojęciem jest „samopodobieństwo”, które zakłada istnienie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia części zbioru na cały zbiór. Najprostszy przykład to odwzorowanie zbioru liczb parzystych (dodatnich) w zbiór liczb naturalnych ${\displaystyle x\to {\frac {1}{2}}x.}$  Własność tę jednak mają również bardzo złożone zbiory, np. trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego i inne fraktale.

• fraktal
• grupa obrotów
• symetria fizyczna

• G. Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1963.
• Stanisław Jaśkowski: Matematyka ornamentu. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
• Hermann Weyl: Symetria. Warszawa: PWN, 1960.

• Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2000.

•   Agnieszka Badeńska, Symetrie w matematyce, przyrodzie i sztuce, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 19 września 2017 [dostęp 2024-09-04].