Rzut (algebra liniowa)

 

Niech dana będzie przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$  (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe ${\displaystyle \mathrm {P} \colon V\to V}$  tej przestrzeni w siebie spełniające warunek idempotentności

${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {P} ,}$ 

czyli ${\displaystyle \mathrm {P} {\big (}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big )}=\mathrm {P} (\mathbf {v} )}$  dla każdego ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$  nazywa się rzutem (ukośnym) lub projekcją.

Odwzorowanie ${\displaystyle \mathrm {P} }$  można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$  można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {w} +\mathbf {u} ,}$  gdzie ${\displaystyle \mathbf {w} \in \ker \mathrm {P} }$  oraz ${\displaystyle \mathbf {u} \in \mathrm {im\;P} }$ ^[b]. Oznacza to, że ${\displaystyle V=\ker \mathrm {P} \oplus \mathrm {im\;P} ,}$  czyli ${\displaystyle V}$  jest sumą prostą jądra i obrazu ${\displaystyle \mathrm {P} .}$  Jeżeli ${\displaystyle V}$  jest skończeniewymiarowa, zaś ${\displaystyle U}$  jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut ${\displaystyle \mathrm {P} ,}$  dla którego ${\displaystyle \mathrm {im\;P} =U}$  (jeśli ${\displaystyle 0<\dim U<\dim V,}$  to rzutów określonych na ${\displaystyle V}$  o obrazie ${\displaystyle U}$  jest nieskończenie wiele).

Dla danych podprzestrzeni ${\displaystyle W,U}$  przestrzeni ${\displaystyle V}$  spełniających ${\displaystyle V=W\oplus U}$  przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {P} \colon V\to V}$  nazywa się rzutem na ${\displaystyle U}$  wzdłuż ${\displaystyle W,}$  jeśli dla każdego ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$  zachodzi

${\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {v} )\in U}$  oraz ${\displaystyle \mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in W.}$ 

Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu ${\displaystyle \mathrm {P} }$  jest równe ${\displaystyle \sigma (\mathrm {P} )=\{0,1\}}$ ^[c]; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazu^[d]. Z drugiej strony, jeśli przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {A} }$  ma widmo ${\displaystyle \sigma (\mathrm {A} )=\{0,1\}}$  i jest diagonalizowalne, to ${\displaystyle \mathrm {A} }$  jest rzutem^[e].

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {P} }$  jest rzutem na ${\displaystyle U}$  wzdłuż ${\displaystyle W,}$  to przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {Q} =\mathrm {I} -\mathrm {P} \colon V\to V}$  dane wzorem ${\displaystyle \mathrm {Q} (\mathbf {v} )=\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )}$  jest rzutem na ${\displaystyle W}$  wzdłuż ${\displaystyle U}$ ^[f]. Tym samym rozkładowi ${\displaystyle V=U\oplus W}$  odpowiada para rzutów ${\displaystyle \mathrm {P} ,\mathrm {Q} .}$ 

 

Jeżeli ${\displaystyle \mathrm {P} }$  jest rzutem (ukośnym) na ${\displaystyle U}$  wzdłuż ${\displaystyle W}$  oraz ${\displaystyle V=W\perp U}$  jest ortogonalną sumą prostą, to ${\displaystyle \mathrm {P} }$  nazywa się rzutem ortogonalnym (na ${\displaystyle U}$  wzdłuż ${\displaystyle W}$ ). Wówczas ${\displaystyle W=U^{\perp }}$  jest dopełnieniem ortogonalnym ${\displaystyle U,}$  czyli zachodzi ${\displaystyle V=U^{\perp }\oplus U,}$  a więc ${\displaystyle V=(\mathrm {im\;P} )^{\perp }\oplus \mathrm {im\;P} ,}$  gdyż wtedy ${\displaystyle \ker P=(\mathrm {im\;P} )^{\perp },}$  gdzie ${\displaystyle \mathrm {im\;P} }$  oraz ${\displaystyle \ker \mathrm {P} }$  oznaczają odpowiednio obraz i jądro rzutu ${\displaystyle \mathrm {P} .}$ 

Konstrukcja ortogonalnej sumy prostej wymaga istnienia (niezdegenerowanej) symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni (tzw. przestrzeń ortogonalna): zwykle rozważa się przestrzenie z iloczynem skalarnym (tzw. przestrzenie unitarne); w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru zakłada się dodatkowo zupełność, co sprawia, że przestrzeń unitarna ${\displaystyle V}$  staje się przestrzenią Hilberta – istnienie zapewnia wtedy twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W tym kontekście rzut ukośny nazywa się operatorem idempotentnym, a rzut ortogonalny znany jest jako operator rzutowy.

Rzut jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest i) samosprzężony^[g] lub ii) normalny lub iii) dodatni (dodatnio określony) lub iv) izometryczny. Rzuty ortogonalne są operatorami ograniczonymi (czyli ciągłymi), a gdy są nietrywialne: o jednostkowej normie operatorowej^[h]; z drugiej strony ograniczony (równoważnie: ciągły) operator liniowy ${\displaystyle \mathrm {A} }$  na przestrzeni Hilberta jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mathrm {A} ^{*}\mathrm {A} =\mathrm {A} .}$ 

Gdy rozważana przestrzeń jest zespolona, gwiazdkę przy oznaczeniu macierzy należy interpretować jako sprzężenie hermitowskie, w pozostałych przypadkach – jako transpozycję; w przypadku przekształceń gwiazdka oznacza (antyliniowe) przekształcenie sprzężone do danego.

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}}$  jest bazą ortonormalną podprzestrzeni ${\displaystyle U}$  zaś ${\displaystyle \mathbf {A} }$  oznacza macierz typu ${\displaystyle n\times k,}$  której kolumnami są ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k},}$  to macierz rzutu ortogonalnego dana jest wzorem

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {AA} ^{*}}$ 

i reprezentuje ona przekształcenie, które można zapisać jako^[i]

${\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }(\cdot )=\sum _{i=1}^{k}\mathbf {u} _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle .}$ 

W szczególności rzut na prostą (przestrzeń jednowymiarową) rozpinaną przez wektor jednostkowy ${\displaystyle \mathbf {u} }$  dany jest wzorem ${\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\cdot )=\mathbf {u} \langle \mathbf {u} ,\cdot \rangle ,}$  a jego macierz ma postać ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {uu} ^{*}}$ ^[j].

Macierz ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$  reprezentuje izometrię częściową ${\displaystyle \mathrm {A} ^{*},}$  która znika na dopełnieniu ortogonalnym podprzestrzeni ${\displaystyle U,}$  zaś ${\displaystyle \mathrm {A} }$  jest izometrią, która zanurza ${\displaystyle U}$  w przestrzeń ${\displaystyle V.}$ 

Warunek ortonormalności można opuścić; jeżeli ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}}$  jest bazą (niekoniecznie ortonormalną), a macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$  zawiera te wektory jako kolumny, to rzut ma postać^[k]

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {A} ^{*}.}$ 

Reprezentowane przez tę macierz przekształcenie nadal zanurza ${\displaystyle U}$  w przestrzeń ${\displaystyle V,}$  jednak nie musi być już izometrią.

• Przekształcenie tożsamościowe jest rzutem ortogonalnym reprezentowanym przez macierz jednostkową, np. ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$  (operator jednostkowy jest operatorem rzutowym).

• Przekształcenie liniowe, którego macierz ma postać ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right],}$  jest rzutem ortogonalnym, podczas gdy zadane macierzą ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$  jest rzutem (ukośnym), ale nie ortogonalnym (pierwsza macierz opisuje operator rzutowy, druga – tylko idempotentny).

• Przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}$  funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesgue’a) jest ortogonalną sumą prostą przestrzeni ${\displaystyle M,N}$  funkcji parzystych i nieparzystych; rzuty ${\displaystyle \mathrm {P} _{M},\mathrm {P} _{N}}$  odpowiednio na ${\displaystyle M,N}$  dane są wzorami^[l]

  ${\displaystyle \mathrm {P} _{M}f(x)={\tfrac {f(x)+f(-x)}{2}}\qquad {\text{ oraz }}\qquad \mathrm {P} _{N}f(x)={\tfrac {f(x)-f(-x)}{2}},}$ 

przy czym ${\displaystyle \mathrm {I} -\mathrm {P} _{M}=\mathrm {P} _{N}.}$ 

• Niech ${\displaystyle A}$  będzie zbiorem mierzalnym ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$  np. przedziałem, z funkcją charakterystyczną ${\displaystyle \chi _{A}.}$  Wówczas^[l] ${\displaystyle \mathrm {P} _{A}f(x)=\chi _{A}(x)f(x)}$  jest rzutem ortogonalnym ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}$  na podprzestrzeń funkcji o nośniku zawartym w domknięciu ${\displaystyle {\overline {A}}.}$ 

• Zamiast wspomnianej wcześniej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  z operatorem ${\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\mathbf {uu} ^{*}\mathbf {x} }$  można rozważać inne: w przypadku przestrzeni ciągów ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$  gdy ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {e} _{n},}$  gdzie ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=\left(\delta _{k,n}\right)_{k=-\infty }^{+\infty }}$ ^[m], oraz ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{k}),}$  to rzut przyjmuje postać ${\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {e} _{n}}(\mathbf {x} )=x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$ 

• Jeśli z kolei dana jest przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {T} )}$  jest przestrzenią funkcji o okresie ${\displaystyle 2\pi }$ ^[n], a ${\displaystyle u=1/{\sqrt {2\pi }}}$  jest funkcją stałą o jednostkowej normie, to rzut ortogonalny ${\displaystyle \mathrm {P} _{u}}$  przekształca funkcję ${\displaystyle f}$  w jej średnią ${\displaystyle \langle f\rangle ,}$  gdzie

  ${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!\!f(x)\ \mathrm {d} x.}$ 

Odpowiadający temu rzutowi rozkład ortogonalny, ${\displaystyle f(x)=\langle f\rangle +f'(x),}$  rozbija funkcję na stałą część średnią ${\displaystyle \langle f\rangle }$  i zmienną część ${\displaystyle f'}$  o zerowej średniej.

• Stosowany w matematycznym opisie mechaniki kwantowej operator liczby cząstek dla fermionów jest operatorem rzutowym.

• F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985. Brak numerów stron w książce

  Paweł Lubowiecki, nagrania na YouTube, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT”, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09]:

• Iloczyny wektorów cz. IV. Rzut ortogonalny wektora.
• Iloczyny wektorów cz. V. Rzut ortogonalny wektora.